Fiche de cours

Rappels

Commençons par une définition simple et amusante des suites numériques $\\$ Suite Arithmétique! Suite Géométrique! Le principe des suites numériques.. simple et énervant! merci "Les Maths en Tongs" pour la caricature 😀

Suite Arithmétique et suite Géométrique

Et maintenant les choses sérieuses commencent 😀

Suite Arithmétique Suite Géométrique
1-Définition: On dit que $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ est une suite arithmétique s'il existe un réel $$r$$ (appelé raison de la suite ($$U_n$$)) tel que $$\forall$$n$$\ge n_0$$ $$U_{n+1}$$= $$U_n$$+r 1-Définition: On dit que: On dit que: $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ est une suite Géométrique s'il existe un réel $$q$$ (appelé raison de la suite ($$U_n$$)) tel que $$\forall$$ n$$\ge n_0$$ $$U_{n+1}$$= $$U_n$$.q
2- $$U_n$$ en fonction de n: $$\forall$$ n $$\in$$ N $$U_n$$= $$U_0$$+n.$$r$$ $$\forall$$ n,p $$\in$$N $$U_n$$= $$U_p$$ +(n-p).$$r$$ 2-$$U_n$$ en fonction de n: $$\forall$$ n $$\in$$ N $$U_n$$= $$U_0$$.$$q^n$$ $$\forall$$ n,p $$\in$$N $$U_n$$= $$U_p$$. $$q^{n-p}$$
3-propriété caractéristique: $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ Arithmétique $$\Leftrightarrow$$ $$\forall$$ n$$> n_0$$ 2$$U_n$$=$$U_{n-1}$$+$$U_{n+1}$$ 3-propriété caractéristique: $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ Géométrique $$\Leftrightarrow$$ $$\forall$$ n$$> n_0$$ $$U^2_n$$=$$U_{n-1}$$.$$U_{n+1}$$
4-La somme: q $$\ne$$ 1 $$U_p$$+$$U_{P+1}$$+....+$$U_n$$= $$n-p+1 \over 2$$($$U_p$$+$$U_n$$) 4-La somme: $$U_p$$+$$U_{p+1}$$+...+$$U_n$$= $$1- q^{n-p+1} \over 1-q$$

La monotonie

soit $$a$$ un nombre réel tel que: $$U_{n+1}-U_n$$ = $$a$$ si $$a>$$0 $$\Rightarrow$$ $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ est strictement croissante si $$a<$$0 $$\Rightarrow$$ $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ est strictement décroissante Si $$a$$=0 $$\Rightarrow$$ $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ est constante.

Suite Minorée, Suite Majorée, suite Bornée

1-On dit que la suite $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ est $$\textbf{minorée}$$ s'il existe un réel $$m$$ tel que:$$\forall$$ $$n\in N$$ $$U_n \ge$$ $$m$$ 2-On dit que la suite $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ est $$\textbf{majorée}$$ s'il existe un réel $$M$$ tel que: $$\forall$$ $$n \in N$$ $$U_n \le$$ M 3-On dit que la suite $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ est $$\textbf{bornée}$$ si elle est à la fois minorée et majorée

Limite d'une suite numérique

تعريف

Soit $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ une suite numérique $\\$ 1- On dit que la suite $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ $$\textbf{diverge}$$ vers +$$\infty$$ (quand n tend vers +$$\infty$$) si elle vérifie:

($$\forall$$ A$$>$$0) ($$\exists$$ p$$\in N$$) tq (si n$$\ge$$p $$\Rightarrow$$ $$U_n$$ $$>$$ A)

Et on écrit:

$$\lim_{n\to +\infty}U_n$$= +$$\infty \\$$

2-On dit que la suite $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ $$\textbf{diverge}$$ vers -$$\infty$$ (quand n tend vers +$$\infty$$) si elle vérifie:

($$\forall$$ A$$>$$0) ($$\exists$$ p$$\in$$N) tq ( n$$\ge$$p $$\Rightarrow$$ $$U_n$$ $$<$$ -A)

Et on écrit:

$$\lim_{n\to +\infty}U_n$$= -$$\infty$$

ما يجب معرفته

  • L'expression ( quand n tend vers +$$\infty$$ ) est superflu car l'étude de la limite d'une suite c'est toujours quand n tend vers +$$\infty$$ et on se contente d'écrire :

$$\lim U_n$$= +$$\infty$$

  • On a les équivalences suivantes:

lim$$U_n$$= +$$\infty$$ $$\Leftrightarrow$$ lim(-$$U_n$$)= -$$\infty\\$$ lim$$U_n$$= -$$\infty$$ $$\Leftrightarrow$$ lim(-$$U_n$$)= +$$\infty$$

Les limites de références

خاصية

Les suites du terme générale $$\sqrt{n}; n; n^2; n^3...$$ divergent vers $$+\infty$$

برهان

$$lim\sqrt{n}=+\infty$$ Montrons que: $$lim \sqrt{n}= +\infty$$ c'est à dire on doit montrer que: $$ (\forall A>0) (\exists p \in N) (n \ge p \Rightarrow \sqrt{n} >A)$$ Soit $$A > 0$$, il suffit de trouver un élément $$p$$ de $$N$$ tel que $$(n \ge p \Rightarrow \sqrt{n} >A)$$ Posons $$p = E(A^2)+1 $$, d'où p$$>A^2$$. On a alors: $$n \ge p \Rightarrow n>A^2 avec n\in N \Rightarrow \sqrt{n}>A$$ d'où le résultat: $$lim \sqrt{n} = +\infty$$

خاصية

Soient $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ et $$(V_n)_{n \ge n_0}$$ deux suites numériques tels que:

$$\forall n \ge n_0$$       $$U_n \le V_n$$

Alors on a:

  1. $$lim U_n = +\infty \Rightarrow lim V_n = +\infty$$
  2. lim $$V_n = -\infty \Rightarrow lim U_n= -\infty $$

برهان

1- Soient $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ et $$(V_n)_{n \ge n_0}$$ deux suites numériques telles que: $$\forall n \ge n_0$$ $$U_n \le V_n$$ et $$lim U_n = +\infty$$ Montrons que: $$lim V_n = +\infty$$ c'est à dire on doit montrer que:$$ (\forall A>0) (\exists p \in N) (n \ge p \Rightarrow V_n >A)$$ Soit $$A>0$$ puisque $$lim~U_n= +\infty$$ donc $$(\exists q \in N) (n\ge q \Rightarrow U_n >A$$) et puisque $$\forall n \ge n_0$$ $$U_n \le V_n$$ Alors: posons $$p= Sup(n_0, q)$$ $$\left\{ \begin{array}{lll} n \ge p \\ \end{array} \right. \Rightarrow\\ \left\{ \begin{array}{lcl} n\ge n_0\\ n \ge q \\ \end{array} \right. \Rightarrow\\ \left\{\begin{array}{lcl} V_n \ge U_n\\ U_n > A \\ \end{array} \right. \Rightarrow\\ \left\{ \begin{array}{lcl} V_n > A\\ \end{array} \right.$$ d'où le résultat: $$\lim_{V \rightarrow n}= \infty$$

خاصية

Soit $$a$$ un réel :

  1. $$\forall ~a>1$$ on a  lim $$a^n= +\infty$$
  2. $$\forall ~ |a|<1$$ on a lim $$a^n = 0$$
  3. $$\forall ~ a\le-1$$ la suite ($$a^n)$$ n'admet pas de limite

برهان

$$\textbf{Preuve des deux premier résultats:}$$ 1- Soit $$a>1$$ donc $$a-1> 0$$ on a: $$a= 1+ (a-1)$$ Posons: $$a-1 = \alpha \Rightarrow a= 1+\alpha $$ Par $$\textbf{Récurrence}$$ on peut montrer facilement le résultat suivant: $$\forall n \in N (1+ \alpha)^n \ge 1+n.\alpha$$ (ce résultat s'appelle $$\textbf{l'inégalité de Bernoulli}$$) d'où: $$\forall n \in N a^n \ge 1+n.\alpha$$ on a: $$lim~1+n.\alpha = +\infty$$ Alors: $$lim~ a^n = +\infty$$ 2- Si $$a=0 \Rightarrow a^n=0 \Rightarrow lim \,\,a^n=0$$ $$0<a<1 \Rightarrow \frac{1}{a}>1 \\\Rightarrow lim (\frac{1}{a})^n = +\infty\\ \Rightarrow lim \frac{1}{a^n} = +\infty \\\Rightarrow lim~~ a^n= 0\\ Si\,\,-1<a<0\\ Alors:\exists b>1\\ tel \,\,que :a=-\frac{1}{b}\\ puisque \,\,0<\frac{1}{b}<1\\ Alors: lim \frac{1}{b} = 0 \\\Rightarrow lim - \frac{1}{b}=0$$ d'où le résultat

مثال

  1. $$lim~ (\sqrt{5})^n = +\infty$$ car $$ \sqrt{5}>1$$
  2. $$lim~ 8^n = +\infty$$ car $$ 8>1$$
  3. $$lim~ (\frac{2}{5})^n = 0$$ car $$ -1<\frac{2}{5}<1$$  

Suite convergente

تعريف

On dit que $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ est une suite convergente s'il existe un réel l tel que:

$$ \lim U_n= l$$

c-à-d:

$$ ( \forall \epsilon > 0)  (\exists p \in \mathbb{N})$$  tel que  $$(n \ge p  \Rightarrow  |U_n -l| <\epsilon)$$     

ما يجب معرفته

  1. Une suite qui n'est pas convergente est une suite divergente.
  2. Dire qu'une suite est divergente signifie qu'elle $$\textbf{n'admet pas de limite}$$ ou $$\textbf{qu'elle tend vers l'infini}$$.

خاصية

Limites des suites usuelles: $\\$ Les suites de terme général $$\frac{1}{\sqrt{n}};\frac{1}{n}; \frac{1}{n^2};\frac{1}{n^3}...$$ convergent vers $$0$$

برهان

$${lim \frac{1}{n^2}= 0}$$ Montrons que: $$lim \frac{1}{n^2}= 0$$ c'est à dire on doit montrer que: $$ (\forall \epsilon>0) (\exists p \in N) (n \ge p \Rightarrow |\frac{1}{n^2}|< \epsilon)$$ Soit $$\epsilon > 0$$, il suffit de trouver un élément $$p$$ de $$N$$ tel que:$$(n \ge p \Rightarrow |\frac{1}{n^2}|< \epsilon)$$ Posons $$p = E(\frac{1}{\sqrt{\epsilon}})+1 $$, d'où p$$>\frac{1}{\sqrt{\epsilon}} $$. On a alors: $$n \ge p \Rightarrow n>\frac{1}{\sqrt{\epsilon}} (n\in N^*) \Rightarrow n^2 > \frac{1}{\epsilon} \Rightarrow \frac{1}{n^2}< \epsilon$$ d'où le résultat: $$lim~ \frac{1}{n^2}=0$$

Proposition : Unicité de la limite

Soit $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ une suite convergente de limite $$l$$ Alors $$l$$ est unique

برهان

Raisonnement par l'absurde Supposons qu'il existe une suite $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ posséde deux limites distinctes $$l_1$$ et $$l_2$$. Posons $$\epsilon =\frac{|l_1 - l_2|}{2}$$ On appliquant la définition de la limite, on obtiendra: $$\left\{ \begin{array}{lcl} (\forall n \in N)~~(\exists p \in N)~~ (n\ge p \Rightarrow |U_n - l_1| < \frac{|l_1-l_2|}{2}) \\ (\forall n \in N)~~(\exists q \in N)~~ (n\ge q \Rightarrow |U_n - l_2| < \frac{|l_1-l_2|}{2}) \\ \end{array} \right. \ \\$$ Cela implique: $$\left\{ \begin{array}{lll} (n\ge p \Rightarrow |U_n - l_1| < \frac{|l_1-l_2|}{2}) \\ (n\ge q \Rightarrow |l_2- U_n| < \frac{|l_1-l_2|}{2}) \\ \end{array} \right. \ \\$$ Soit $$R= Sup( p,q)$$. $$n \ge R \Rightarrow $$ $$\left\{ \begin{array}{lcl} -\frac{|l_1-l_2|}{2})< U_n - l_1 < \frac{|l_1-l_2|}{2}) \\ -\frac{|l_1-l_2|}{2})< -U_n + l_2 < \frac{|l_1-l_2|}{2}) \\ \end{array} \right. \ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lcl} -|l_1-l_2|< l_2-l_1 < |l_1-l_2| \\ \end{array} \right. \ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lcl} |l_2-l_1| < |l_1-l_2| \\ \end{array} \right. \ \\$$ Ce qui est absurde. D'où le résultat

ما يجب معرفته

  1. La suite $$U_n$$= $$(-1)^n$$ est divergente.
  2. Une suite peut être convergente sans qu'elle soit monotone.

مثال

$$U_n=\frac{(-1)^n}{n}$$ n'est pas monotone mais elle est convergente. 3- si lim $$\Vert U_n\Vert$$=0 Alors lim$$U_n$$= 0  

Opérations sur les limites des suites

Proposition

Si $$(U_n)_{n \ge n_0}$$ et $$(V_n)_{n \ge n_0}$$ sont deux suite convergentes et $$\alpha$$ un réel quelconque $\\$ Alors les suites: ($$U_n+V_n)_{n \ge n_0}$$; $$(U_n .V_n)_{n \ge n_0}$$; ($$\alpha$$ $$U_n)_{n \ge n_0}$$ $$\textbf{convergent}\\$$. Si de plus $$lim (V_n)\ne 0 $$, alors la suite: ($$\frac{U_n}{V_n})_{n \ge n_0} $$ $$\textbf{converge}\\$$. Et on a:

  1. $$lim (U_n + V_n)= lim (U_n)+lim(V_n)$$
  2. $$lim (U_n.V_n) = lim (U_n).lim(V_n)$$
  3. $$lim (\alpha U_n) = \alpha lim(U_n)$$
  4. $$lim(\frac{U_n}{V_n}) = \frac{lim U_n}{lim V_n}$$

مثال

1-$$lim \frac{3n^2-n+1}{2n^2+n-1} = lim \frac{n^2(3-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2})}{n^2(2+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2})} = lim \frac{3-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}= \frac{3}{2}\\$$ 2- $$lim4-\frac{3}{\sqrt{n}}+\frac{1}{2n}= lim4 - lim \frac{3}{\sqrt{n}} + lim\frac{1}{2n} = 4$$

تطبيق

Montrer que: $$lim~(3^n-2^n) = +\infty$$ et $$lim ~\frac{5^n+2^n}{3^n+4^n}= +\infty$$  

Limites de la somme

lim $$U_n$$ l $$+\infty$$ $$-\infty$$ l l $$+\infty$$
lim$$V_n$$ l' $$+\infty$$ $$-\infty$$ $$+\infty$$ $$-\infty$$ $$-\infty$$
lim ($$U_n+V_n$$) l+l' $$+\infty$$ $$-\infty$$ $$+\infty$$ $$-\infty$$ Forme indéterminée

 

Limites du produit

lim $$U_n$$ l$$\ne$$ 0 l $$\infty$$ 0
lim$$V_n$$ $$\infty$$ l' $$\infty$$ $$\infty$$
lim$$U_n$$.$$V_n$$ $$\infty$$ l.l' $$\infty$$ Forme indéterminée

Limites du quotient

lim $$U_n$$ l l l$$\ne$$0 $$\infty$$ $$\infty$$ 0 $$\infty$$
$$V_n$$ l'$$\ne$$ 0 $$\infty$$ 0 0 l 0 $$\infty$$
lim $$\frac{U_n}{V_n}$$ $$\frac{l}{l'}$$ 0 $$\infty$$ $$\infty$$ $$\infty$$ Forme indéterminée Forme indéterminée

Les limites et l'ordre

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