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Maths
Généralités sur les fonctions
1ère année bac Sciences Maths Maths Généralités sur les fonctions fiche de cours
Le terme « fonction » revient à décrire une relation existante entre deux ensembles de nombres. Concrètement, la fonction est une machine mathématique qui transforme un nombre à une autre dans certaine logique (double, tribale, racine, quotient…). Nous présentons les figures ci-dessous illustrant cette définition : 
Donc, nous avons toujours deux ensembles : ensemble de départ et ensemble d’arrivée et la fonction c’est le lien mathématique entre les deux ensembles.
تطبيق
La fonction : $ f(x)=2 x\\$ L’élément de l’entrée : $-9\\$ Le résultat : $-18$
Notion de fonction numérique : Définitions et propriétés
Notion de fonction et Domaine de Définition
تعريف
La fonction f est un procédé qui à chaque nombre x appartenant à l’ensemble $ D_{f} $ associe un nombre $ f(x) \in F. \\ $ On note : $\begin{aligned}\boldsymbol{f}: & D_{f} \rightarrow \boldsymbol{F} \\\boldsymbol{x} &\mapsto \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\end{aligned}$ $\\\text {On dit que } \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) \text { est l'image de } \boldsymbol{x} \text { par la fonction } \boldsymbol{f}$ $\text {On dit que } \boldsymbol{x} \text { est l'antécédent de } \boldsymbol{f(x)} \text { par la fonction } \boldsymbol{f}$
تعريف
Le domaine de définition d’une $ \text { fonction } f $ est l’ensemble de nombres réels qui possèdent une image calculable par cette fonction. On note $ D_{f} $ l’ensemble de définition de la fonction f.
تطبيق
$\\$1-$f: D_{f} \rightarrow F\\x \mapsto x^{2}+x+1\\ \text {est une fonction dite polynomiale avec } D_{f}=I R\\[0.3cm]$ 2- $g(x)=\frac{2 x}{x-1}\quad$ Est une fonction sous forme d'une fraction avec $ D_{g}=I R \backslash\{1\}\\[0.2cm]$ En effet, $g$ est bien défini si et seulement si le dominateur est non nul . $\\$ Donc $ D_{g}=\{x \in I R / x-1 \neq 0\}=\{x \in I R / x \neq 1\}$ d'où le résultat . $\\[0.3cm]$ $h(x)=\frac{1}{\sqrt{2 x+1}} \quad $ Est une fonction irrationnelle avec $D_{h}= \frac{-1}{2},+\infty]$ $\\$ En effet, $ h$ est bien défini si et seulement $ \sqrt{2 x+1} \neq 0$ \ et $ 2 x+1 \geq 0\\[0.2cm]$ Donc $\D_{h} =\{x \in I R / \sqrt{2 x+1} \neq 0$ et $2 x+1 \geq 0$ ={x \in I R / 2 x+1 \neq 0 \text{et} 2 x+1 \geq 0} \\ \left.={x \in I R / 2 x+1>0}= frac{-1}{2},+\infty\right$
ما يجب معرفته
- Pour toutes les fonctions polynomiales $ D_{f}=I R$
- Pour les fonctions de type $\frac{Q(x)}{P(x)} D_{f}=\{x \in I R / P(x) \neq 0\}$
- Pour les fonctions de type $ \sqrt{P(x)} \quad D_{f}=\{x \in I R / P(x) \geq 0\}$
Représentation graphique d’une fonction
La représentation graphique ou courbe d'une fonction est l'ensemble, noté $\left(C_{f}\right),$ des points $M(x, f(x))\\$ tel que $x\in D_{f} .\\$ On écrit $\left(C_f\right)=\left\{M(x, f(x)) / x \in D_{f}\right\}$.
تطبيق
1- La représentation graphique de la fonction $\text { la fonction } f(x)=2 x $ est une droite passant par l’origine. $\\[0.2cm]$ 2- La représentation graphique de $ \text { la fonction } g(x)=\frac{x^{2}}{2}$ est une parabole :$\\$ 
3- La représentation graphique de $ \text { de } h(x)=\frac{2 x-1}{\sqrt{x^{2}+1}} $ 
[kezakoo section ="application"]
La parité
Fonction paire
تعريف
Une fonction $f $ de domaine de définition $D_{f}$ est paire si et seulement si $\\$ pour tout $ x \in D_{f} $ :
- $-x \in D_{f} $
- $f(-x)=f(x)$
خاصية
Une fonction f est paire si et seulement si sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
تطبيق
$ f(x)=x^{2} $: $\\$ En utilisant la définition,$ D_{f}=I R $ car $ f $ est polynomiale. $\\$ Soit $ x \in IR $ alors évidement $-x \in IR \\$ Alors,$ \boldsymbol{f}(-\boldsymbol{x})=(-\boldsymbol{x})^{2}=\boldsymbol{x}^{2}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) $ d'où la fonction est paire .$\\$ Graphiquement, la fonction est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées comme l’illustre la figure ci-dessous :$\\$ 
La fonction impaire
تعريف
Une fonction $f$ de domaine de définition $D_{f}$ est impaire si et seulement si $\\$ pour tout $ x \in D_{f}$ :
- $ -x \in D_{f} $
- $ f(-x)=-f(x) $
خاصية
Une fonction f est paire si et seulement si sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.
تطبيق
$ f(x)=x^{3} : \\$ En utilisant la définition, $D_{f}=I R$ car $ f $ est polynomiale. $\\$ Soit $ x \in IR $ alors évidement $-x \in IR \\$ Alors, $ f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)$ d'où la fonction est impaire. $\\$ Graphiquement, la fonction est symétrique par rapport à l’origine du repère comme l’illustre la figure ci-dessous : $\\$ 
La fonction majorée, minorée, bornée
تعريف
Soit $f$ une fonction numérique de domaine définition $D_{f}$, soit $m$ et $M$ deux réels. Alors,
- $f $ est majorée par$ M \Leftrightarrow \forall x \in D_{f}, f(x) \leq M $
- $ f$ est minorée par $ m \Leftrightarrow \forall x \in D_{f}, f(x) \geq m $
- $ f $ est bornée $\Leftrightarrow f$ est majorée et minorée $ \Leftrightarrow \forall x \in D_{f}, m \leq f(x) \leq M $
ما يجب معرفته
Parfois le nombre $m$ ou $M$ n’est pas donné explicitement, c’est aux étudiants de le déterminer, dans ce cas la définition est :
- $f$ est majorée $\Leftrightarrow \exists M \in I R, \forall x \in D_{f}, f(x) \leq M \\$
- $ f $ est minorée $\Leftrightarrow \exists m \in I R, \forall x \in D_{f}, f(x) \geq m \\$
- $ f $ est bornée $\Leftrightarrow f$ est majorée et minorée .$\Leftrightarrow \exists(m, M) \in {IR} \times {IR} \forall {x} \in {D}_{f},\\ m \leq f(x) \leq M $
تطبيق
1- $ f(x)=x^{2}$ est minorée par $0$ car $\forall x \in I R, x^{2} \geq 0 \\[0.3cm]$ 2- Soit $ g $ la fonction définie sur $[1,+\infty[$ par $g(x)=\frac{1}{x} \\[0.2cm]$ Alors, $g $ est majorée par $ 1$ puisque $\forall x \in\left[1,+\infty\left[, x \geq 1 \Rightarrow \frac{1}{x} \leq 1\right.\right. \\[0.3cm]$ 3- Les deux fonctions: $h_{1}(x)=\sin (x)$ et ${h}_{2}(x)=\cos (x) $ sont bornées car
$\\ \forall x \in I R,-1 \leq \sin (x) \leq 1 \quad$ et $\quad-1 \leq \cos (x) \leq 1 $
Interprétation géométrique :
1- Le graphe d’une fonction majorée par $M$ situé au-dessous de la droite $y=M $ 
$\\$La fonction ici c'est $ f(x)=-x^{2}$ est majorée par $1$ car $-x^{2} \leq 0 \leq 1 \\[0.3cm]$ 2- Le graphe d’une fonction minorée par $m$ situé au-dessus de la droite $y=m $ 
$\\$La fonction ici c'est $ f(x)=x^{2}$ est minorée par $-1$ car $x^{2} \geq 0 \geq-1 \\[0.3cm]$ 3- Le graphe d’une fonction bornée situé entre deux droites $ y=M$ et $y=m $ 
$\\$La fonction ici c'est $ f(x)=\sin (x) $
Les extremums d’une fonction
Extremums absolus
تعريف
Soit $ f $ une fonction numérique de domaine définition $ D_{f}$ $\\$ soit $ \alpha \in D_{f} $
- On dit que la fonction $ f$ admet un maximum absolu en $ \alpha$ ou le nombre $f(\alpha)$ est un maximum absolu si et seulement si $\forall x \in D_{f}, f(x) \leq f(\alpha)\\$ On écrit, $ \max _{x \in D_{f}} f(x)=f(\alpha)\\[0.2cm]$
- On dit que la fonction $f$ admet un minimum absolu en $\alpha$ ou le nombre $f(\alpha)$ est un minimum absolu si et seulement si $\forall x \in D_{f}, f(x) \geq f(\alpha)\\$ On écrit,$\min _{x \in D_{f}} f(x)=f(\alpha)$
Résultats :
- $ \text { Si } \boldsymbol{f} \text { admet un maximum absolu en } \alpha \text { alors } \boldsymbol{f}(\boldsymbol{\alpha}) \text { est un majorant de } \boldsymbol{f} \text { sur } \boldsymbol{D}_{\boldsymbol{f}} $
- $ \text { Si } \boldsymbol{f} \text { admet un minimum absolu en } \alpha \text { alors } \boldsymbol{f}(\boldsymbol{\alpha}) \text { est un minorant de } \boldsymbol{f} \text { sur } \boldsymbol{D}_{\boldsymbol{f}} $
Extremums relatifs
تعريف
$ \text { Soit } f \text { une fonction numérique de domaine définition } D_{f} $
- $ \text { On dit que la fonction } f \text { admet un maximum relatif en } \alpha \text { s'il existe un }$ $ \text { intervalle ouvert } I \subset D_{f} \text { contenant } \alpha \text { tel que }: \forall x \in I, f(x) \leq f(\alpha) \\[0.2cm]$
- $ \text { On dit que la fonction } f \text { admet un minimum relatif en } \alpha \text { s'il existe un } $ $ \text { intervalle ouvert } I \subset D_{f} \text { contenant } \alpha \text { tel que }: \forall x \in I, f(x) \geq f(\alpha)$
Résultats
Un extrême absolu est relatif mais le contraire ce n’est pas toujours correct.
حيلة
- $M$ est un maximum de la fonction $f \Leftrightarrow $ ($f$ est majorée par $M$ et l'équation $f(x) = M$ admet une solution)
- $m$ est un minimum de la fonction $f \Leftrightarrow $ ($f$ est minorée par $m$ et l'équation $f(x) = m$ admet une solution)
تطبيق
Soit $f$ la fonction définie par $ f(x)=\frac{2 x^{2}+7 x+7}{x^{2}+3 x+3} $
- Déterminer $ D_{f} $
- Montrer que $f$ est majorée par $ \frac{7}{3} $ et minorée par$1$
- En déduire que $\frac{1}{3}$ est un maximum et $ 1 $ est un minimum
[kezakoo section ="astuce"]Pour montrer que la fonction $f$ est majorée par $M$ ou minorée par $m$ on effectue la différence entre le nombre et la fonction puis on vérifie le signe du résultat obtenu
Corrigé de l’exercice
1- La fonction est une fraction alors, $D_{f}=\left\{x \in I R / x^{2}+3 x+3 \neq 0\right\}\\[0.2cm]$ Puisque $\Delta=3^{2}-4 \times 3=-3<0$ donc $x^{2}+3 x+3>0$ (signe de coefficient de $x^{2}$ ) $\\[0.2cm]$ D'où $D_{f}=I R\\[0.3cm]$ 2- L’astuce de cette question c’est d’effectuer à chaque fois la déférence entre le nombre et la fonction puis on vérifie le signe du résultat obtenu.
- $f(x)-1=\frac{2 x^{2}+7 x+7}{x^{2}+3 x+3}-1=\frac{x^{2}+4 x+4}{x^{2}+3 x+3}=\frac{(x+2)^{2}}{x^{2}+3 x+3} \geq 0\\[0.2cm]$ car $(x+2)^{2} \geq 0$ et $x^{2}+3 x+3>0$ donc $\forall x \in I R, f(x) \geq 1$ d'où le résultat $\\[0.2cm]$
- $\frac{7}{3}-f(x)=\frac{7}{3}-\frac{2 x^{2}+7 x+7}{x^{2}+3 x+3}=\frac{x^{2}}{3\left(x^{2}+3 x+3\right)} \geq 0\\[0.2cm]$ car $x^{2} \geq 0$ et $ x^{2}+3 x+3>0$ donc $\forall x \in I R, f(x) \leq \frac{7}{3} \\$ d'où le résultat.$\\[0.3cm]$
3- $1$ est minimum car l'équation $f(x)=\frac{2 x^{2}+7 x+7}{x^{2}+3 x+3}=1$ admet une solution dans $IR\\[0.2cm]$ En effet, $\\$ $\begin{aligned} \frac{2 x^{2}+7 x+7}{x^{2}+3 x+3}=1 & \Leftrightarrow 2 x^{2}+7 x+7=x^{2}+3 x+3 \\ & \Leftrightarrow x^{2}+4 x+4=(x+2)^{2}=0 \Leftrightarrow x=-2 \end{aligned}$ $\\[0.2cm]$ Donc $\forall x \in \operatorname{IR} f(x) \geq f(-2)$ $\\[0.2cm]\frac{7}{3}$ est un maximum puisque $f(0)=\frac{7}{3}$ donc $\forall x \in IR \quad f(x) \leq f(0)$[/kezakoo]
Les variations d’une fonction
تعريف
Soit $ f $ une fonction numérique de domaine de définition $ D_{f}$ et $I \subset D_{f}$ un intervalle.
- $f$ est une fonction croissante sur l'intervalle $I$ cela revient à écrire: $\\ \forall(x, y) \in I^{2}, \quad x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y) $
- $f $ est une fonction strictement croissante sur l'intervalle $ I$ cela revient à écrire: $\\ \forall(x, y) \in I^{2}, \quad x<y \Rightarrow f(x)<f(y) $
ما يجب معرفته
La fonction croissante garde le même ordre des éléments.
Interprétation géométrique :
تطبيق
- $ f(x)=2 x,\quad$ fonction strictement croissante sur $I R$
- $ f(x)=\frac{x^{4}}{2},\quad$ fonction strictement croissante sur $I R^{+} $
- $f(x)=\sqrt{x},\quad$ fonction strictement croissante sur $R^{+} $
تعريف
Soit $ f $ une fonction numérique de domaine de définition $ D_{f}$ et $ I \subset D_{f}$ un intervalle.
- $ f$ est une fonction décroissante sur l'intervalle $I$ cela revient à écrire: $\\ \forall(x, y) \in I^{2}, \quad x \leq y \Rightarrow f(x) \geq f(y) $
- $ f$ est une fonction strictement décroissante sur l'intervalle $I$ cela revient à écrire : $ \\ \forall(x, y) \in I^{2}, \quad xf(y) $
ما يجب معرفته
La fonction décroissante ne garde pas le même ordre des éléments
Interprétation géométrique :
تطبيق
- $ f(x)=-x,$ fonction strictement décroissante sur $IR$
- $ f(x)=\frac{1}{x},$ fonction strictement décroissante sur $I R^{*+}$
تعريف
Soit $f$ une fonction numérique de domaine définition $D_{f}$ et $I \subset D_{f} $ un intervalle.
- On dit que $f$ est monotone sur l'intervalle $ I$ si elle est croissante ou décroissante sur $I $.
- On dit que $f$ est strictement monotone sur l'intervalle $I $ si elle est strictement croissante ou strictement décroissante sur $I.$
ما يجب معرفته
Une fonction qui s'écrit sous forme $f(x)=a$ avec $a \in IR$ est dite constante.
Le taux de variation
تعريف
Soit $f$ une fonction numérique de domaine définition $D_{f}, I \subset D_{f}$ un intervalle et $(a, b) \in I^{2}$ tel que $a \neq b .\\[0.2cm]$ Alors, le nombre $T_{(a, b)}=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$ s'appelle le taux d'accroissement ou de variation de la fonction $f$ entre $a$ et $b$.
نظرية
Soit $f$ une fonction numérique de domaine définition $D_{f}, I \subset D_{f}$ un intervalle.
- $f$ est croissante sur $I \quad \Leftrightarrow \quad \forall(a, b) \in I^{2} / a \neq b, T_{(a, b)} \geq 0 \\$
- $f$ est décroissante sur $I \quad \Leftrightarrow \quad \forall(\alpha, b) \in I^{2} / a \neq b, T_{(a, b)} \leq 0$
تطبيق
1- Soit $f$ la fonction définie par $\forall x \in R^{*}, f(x)=\frac{1}{x}\\$ On considère l'intervalle $: I=R^{*+}$ alors $f$ est décroissante sur $I\\[0.2cm]$ En effet, soit $(a, b) \in I^{2}$ avec $a \neq b, \\[0.2cm]T_{(a, b)}=\frac{f(a)-f(b)}{a b}=\frac{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}{a-b}=-\frac{1}{a b} \leq 0\\[0.5cm]$ 2- Soit $g$ la fonction définie par $\forall x \in I R^{+}, g(x)=\sqrt{x}\\$ On considère l'intervalle $: J=I R^{+}$ alors la fonction est croissante sur $J\\[0.2cm]$ En effet, $(a, b) \in J^{2} a \neq b$, $T_{(a, b)}=\frac{g(a)-g(b)}{a-b}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(a-b)(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \geq 0\\[0.5cm]$ 3- Soit $g$ la fonction définie par $h(x)=4 x^{2}+1\\$ On considère l'intervalle $: k=I R^{+}$ alors la fonction $g$ est croissante sur $k\\$ En effet, $(a, b) \in k^{2} a \neq b$ $\\[0.2cm] \begin{aligned}T_{(a, b)}=\frac{h(a)-h(b)}{a-b} &=\frac{4 a^{2}+1-4 b^{2}-1}{a-b} \\&=\frac{4(a-b)(a+b)}{(a-b)}=4(a+b) \geq 0\end{aligned}$
La variation et la parité
خاصية
Soit $f$ une fonction numérique paire de domaine définition $D_{f} .$ soit $I \subset D_{f} \cap I R^{+}$ un intervalle et $I^{\prime}$ son symétrique par rapport l'origine.
- Si $f$ est croissante sur $I$ alors elle est décroissante sur $I^{\prime} .$
- Si $f$ est décroissante sur $I$ alors elle est croissante sur $I^{\prime} .\\[0.2cm]$
Soit $f$ une fonction numérique impaire de domaine définition $D_{f}$.soit $I \subset D_{f} \cap I R^{+}$ un intervalle et $I^{\prime}$ son symétrique par rapport l'origine.
- Si $f$ est croissante sur $I$ alors elle est croissante sur $I^{\prime} .$
- Si $f$ est décroissante sur $I$ alors elle est décroissante sur $I^{\prime} .$
ما يجب معرفته
Un intervalle $ I^{\prime}$ est symétrique par rapport à l'origine de $I $ revient à tracer le schéma suivant: 
Par exemple, si $\boldsymbol{I}=[\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}] $ alors $\boldsymbol{I}^{\prime}=[-\boldsymbol{b},-\boldsymbol{a}] $ [kezakoo section ="demonstration"] Nous allons montrer la proposition dans le cas où la fonction $f$ est pair, l'autre cas se fait par le même raisonnement. $\\[0.2cm]$ En effet, on suppose que $\boldsymbol{f}$ une fonction numérique paire de domaine définition $D_{f} .\\$ soit $I \subset$ $D_{f} \cap I R^{+}$ un intervalle et $I^{\prime}$ son symétrique par rapport l'origine.$\\$ Soit $\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right) \in I^{\prime} \times I^{\prime}$ alors $\\\exists(a, b) \in I \times I \text { tels }$ que $: a^{\prime}=-a$ et $b^{\prime}=-b\\[0.2cm]$ $T_{f}^{\prime}=\frac{f\left(a^{\prime}\right)-f\left(b^{\prime}\right)}{a^{\prime}-b^{\prime}}=\frac{f(-a)-f(-b)}{b-a}$ $\quad=-\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=-T_{f}\\[0.2cm]$ Donc si $f$ est croissante sur $I$ alors $T_{f} \geq 0$ donc $\\[0.2cm]T_{f}^{\prime} \leq 0 \Rightarrow f$ est décroissante sur $I^{\prime}$ et vice versa.
Composé de deux fonctions
تعريف
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $I$ et $g$ la fonction définie sur l'intervalle $J\\$ tel que : $f(I) \subset J,$ autrement dit $(\forall x \in I, f(x) \in J)\\$ La composée de $f$ et $g$ est la fonction notée: $gof$ définie sur $I$ par:
$\forall x \in I, \text { gof }(x)=g(f(x))\\[0.2cm]$
Le schéma suivant illustre bien les trois fonctions $f, g$ et $gof$ :
ما يجب معرفته
Le domaine de définition d’une fonction composée est :
$\\[0.2cm]D_{g o f}=\left\{x \in I R / x \in D_{f} \text { et } f(x) \in D_{g}\right\}$
خاصية
Soient $f$ et $g$ deux fonctions dont les ensembles des définitions respectifs $D_{f}$ et $D_{g}$ soient $I$ un intervalle de $D_{f}$ et $J$ un intervalle de $D_{g}$ tels que $f(I)=J$
- Si $f$ est croissante sur $I$ et $g$ est croissante sur $J=f(I) $ alors gof est croissante sur $I$.
- Si $f$ est décroissante sur $I$ et $g$ est décroissante sur $J=f(I)$ alors gof est croissante $\\$ sur $I$.
- Si $f$ est croissante sur $I$ et $g$ est décroissante sur $J=f(I)$ alors gof est décroissante $\\$ sur $I$.
- Si $f$ est décroissante sur $I$ et $g$ est croissante sur $J=f(I)$ alors gof est décroissante $\\$ sur $I$.
تطبيق
Soit les fonctions $ g(x)=x^{2}+5 x-1$ et $f(x)=3 x+2 $
- Déterminer $ D_{f}, D_{g}$ et $D_{fog }$ et $D_{gof } $
- Calculer $fog$ et $gof $
- Soit $h(x)=\sqrt{x^{2}+1}$ , alors déterminer la monotonie de $h$ sur $I R^{+} $
Corrigé
1- Les fonctions $f$ et $g$ sont polynomiales alors $D_{f}=I R$ et $D_{g}=I R\\[0.2cm]$ En plus, $f(I R)=IR$ et $g(I R)=IR$ donc on a le droit du parler de $fog$ et $gof\\[0.2cm]$ D'après la remarque ci-dessus, $ D_{fog }=I R=D_{gof } \\[0.5cm]$ 2- Soit $ x \in I R,$ alors $\operatorname{fog}(x)=f(g(x))=f\left(x^{2}+5 x-1\right)=3 x^{2}+15 x-1 \\$ Soit $x \in I R, $ alors : $\\ \operatorname{gof}(x)=g(f(x))=g(3 x+2) =(3 x+2)^{2}+5(3 x+2)-1=9 x^{2}+27x+13$
[kezakoo section ="astuce"] Nous déterminons la monotonie d’une fonction non usuelle en cherchant à l’écrire comme un composé de deux fonctions dont la monotonie est connue
Les fonctions périodiques
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