Etude des fonctions numériques

 

1. $\vec{u} . \vec{v}=(x \vec{\imath}+y \vec{\jmath}) \cdot\left(x^{\prime} \vec{\imath}+y^{\prime} \vec{\jmath}\right)=x x^{\prime} \vec{\imath} . \vec{\imath}+x y^{\prime} \vec{\imath} \cdot \vec{j}+y x^{\prime} \vec{\jmath} \cdot \vec{\imath}+y y^{\prime} \vec{\jmath} \cdot \vec{\jmath}=x x^{\prime}+y y^{\prime}$ $$\operatorname{Car}(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}) \text { est orthonormé directe donc }: \vec{\imath} \cdot \vec{\imath}=\vec{j} \cdot \vec{\jmath}=1 \text { et } \vec{\imath} . \vec{j}=\vec{\jmath} \cdot \vec{l}=0 .$$
2. $\|\vec{u}\|=\sqrt{\vec{u} . \vec{u}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ D'après (1)
3. On a $A\left(x_{A}, y_{A}\right)$ et $B\left(x_{B}, y_{B}\right)$ :

$$A B=\|\overrightarrow{A B}\|=\sqrt{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A B}}=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}$$

 

Exemple :

 

On donne $\vec{u}=\vec{\imath}-2 \vec{\jmath}$ et $\vec{v}=-4 \vec{\imath}+2 \vec{\jmath}$ et $A(0,3)$ et $B(2,-1)$

1. Calculons $\vec{u} . \vec{v}$ :

$$\vec{u} . \vec{v}=1 \times(-4)+(-2) \times 2=-4-4=-8$$

2. Calculons $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|:$

$$\begin{array}{l} \|\vec{u}\|=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{5} \\ \|\vec{v}\|=\sqrt{(-4)^{2}+2^{2}}=\sqrt{20} \end{array}$$

3. Calculons AB :

$$A B=\sqrt{(2-0)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$$

Formules de cos (u,v) et sin (u,v) :

[kezakoo section ="propriete"] Soient $\vec{u}(x, y)=x \vec{\imath}+y \vec{\jmath}$ et $\vec{v}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)=x^{\prime} \vec{\imath}+y^{\prime} \vec{\jmath}$ deux vecteurs non nuls dans le plan et $(\overline{\vec{u}, \vec{v}}) \equiv \theta[2 \pi]$

On a :

1. $\cos \theta=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times\|\vec{v}\|}=\frac{x x^{\prime}+y y^{\prime}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \times \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}}$
2. $\sin \theta=\frac{\operatorname{det}(\vec{u} \cdot \vec{v})}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \times \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}}=\frac{x y^{\prime}-x^{\prime} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \times \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}}$

1. On a:

$$\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{c} \vec{u} . \vec{v}=\|\vec{u}\| \times\|\vec{v}\| \times \cos \theta \\ \vec{u} \cdot \vec{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime} \end{array}\right. \\ \Rightarrow\left\{\begin{array}{c} \cos \theta=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times\|\vec{v}\|} \\ \vec{u} . \vec{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime} \end{array}\right. \end{array}$$

Donc:

$$\cos \theta=\frac{x x^{\prime}+y y^{\prime}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \times \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}}$$

2. Soit le vecteur $\vec{w}$ tel que $:(\ overline{\vec{u}, \vec{w}}) \equiv \frac{\pi}{2}[2 \pi]$ et $\|\vec{u}\|=\|\vec{w}\|$

$$\begin{array}{l} (\overline{\vec{v}, \vec{w}}) \equiv(\overline{\vec{v}, \vec{u}})+(\overline{\vec{u}, \vec{w}})[2 \pi] \equiv-\theta+\frac{\pi}{2}[2 \pi] \\ \vec{v} \cdot \vec{w}=\|\vec{v}\| \times\|\vec{w}\| \times \cos \left(-\theta+\frac{\pi}{2}\right)=\|\vec{v}\| \times\|\vec{u}\| \times \sin \theta \mid \\ \Rightarrow \sin \theta=\frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{\|\vec{v}\| \times\|\vec{u}\|} \end{array}$$

Et on a $\vec{w}(-y, x)$

Donc:

$$\sin \theta=\frac{x y^{\prime}-x^{\prime} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \times \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}}$$

Ou autrement :

$$\sin \theta=\frac{\operatorname{det}(\vec{u} . \vec{v})}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \times \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}}$$

Exemple :

Soient les trois points $A(5,0), B(2,1)$ et $C(6,3)$ :

a- Calculons $\cos (\overline{\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}})$ :

On a :

$$\begin{array}{r} \cos (\overline{\ overrightarrow {A B}, \overrightarrow{A C}})=\frac{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}}{\|A B\| \times\|A C\|}=\frac{(-3 \vec{\imath}+\vec{\jmath})(\vec{\imath}+3 \vec{\jmath})}{A B \times A C} \\ A B=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{(-3)^{2}+1^{2}}=\sqrt{10} \\ A C=\sqrt{\left(x_{C}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{C}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10} \end{array}$$

Donc:

$$\cos (\overline {\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}})=\frac{-3+3}{10}=0$$

b- Calculons $\sin (\overline {\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}})$ :

On a :

$$\sin (\overline{\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}})=\frac{(-3) \times 3-1 \times 1}{10}=-\frac{10}{10}=-1$$

Donc:

$$(\overline{\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}}) \equiv-\frac{\pi}{2}[2 \pi]$$

L’air d’un triangle et d’un parallélogramme :