Calcul des Limites

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $] a,+\infty[$ avec a un réel quelconque .On dit que la fonction $f$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si : $(\forall \varepsilon>0)(\exists B>0)\left(\forall x \in D_{f}\right)(x>B \Rightarrow|f(x)-l|<\varepsilon) .$ Et on écrit : $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=l$ Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $]-\infty, a[$ avec a un réel quelconque .On dit que la fonction $f$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $-\infty$ si : $(\forall \varepsilon>0)(\exists B>0)\left(\forall x \in D_{f}\right)(x<-B \Rightarrow|f(x)-l|<\varepsilon)$.Et on écrit: $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=l$[/kezakoo] [kezakoo section ="retenir"]

L’interprétation géométrique

- $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=l$,la courbe de la fonction se rapproche de plus en plus de la droite d'équation $y=l$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

- $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=l$,la courbe de la fonction se rapproche de plus en plus de la droite d'équation $y=l$ quand $x$ tend vers $-\infty$.

-Et alors on dit que la droite $y=l$ est une asymptote horizontale.

Soit $f$ une fonction définie sur intervalle de la forme $] a,+\infty[$ où a un réel quelconque. On dit que la fonction $f$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si : $(\forall A>0)(\exists B>0)\left(\forall x \in D_{f}\right)(x>B \Rightarrow f(x)>A) .$ Et on écrit : $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$
$\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty \mathrm{si}:(\forall A>0)(\exists B>0)\left(\forall x \in D_{f}\right)(x>B \Rightarrow f(x)<-A)$ $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty$ si $:(\forall A>0)(\exists B>0)\left(\forall x \in D_{f}\right)(x<-B \Rightarrow f(x)<-A)$. $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=+\infty$ si $:(\forall A>0)(\exists B>0)\left(\forall x \in D_{f}\right)(x<-B \Rightarrow f(x)>A)$.

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $] a-r, a+r[$ ou un intervalle de la forme $] a-r, a+r\left[-\{r\}\right.$ tel que $r \in \mathbb{R}^{+*} \cdot f$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $a$ si : $(\forall \varepsilon>0)(\exists \alpha>0)\left(\forall x \in D_{f}\right)(0<|x-a|<\alpha \Rightarrow|f(x)-l|<\varepsilon)$ et on écrit $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=l$ [/kezakoo] [kezakoo section ="propriete"] $\text { Si } f \text { admet une limite } l \text { en } a \text { alors cette limite est unique. }$ [/kezakoo]

Remarque

$\lim _{x \rightarrow a}|f(x)|=l \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow a} f(x)=l$ ou $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=-l$
Cas des fonctions usuelles: Soit $n \in \mathbb{N}^{*}: \quad \lim _{x \rightarrow 0} x^{n}=0$

Exemples

$\lim _{x \rightarrow 0} x=0 ; \lim _{x \rightarrow 0} x^{4}=0$

Limite à droite ,limite à gauche

Activité

Considérons la fonction $f: \mathbb{R} \backslash\{2\} \rightarrow \mathbb{R}$
$\chi \longmapsto \frac{|x-2| x}{x-2}$

A partir de la courbe et du tableau, lorsque $x$ se rapproche de 2 sur la droite, $f(x)$ se rapproche de 2 . On dit que la limite de $f(x)$ est 2 quand $x$ tend vers 2 à droite et on écrit $\lim _{x \rightarrow 2} f(x)=2$.
A partir de la courbe et du tableau, lorsque $x$ se rapproche de 2 sur la gauche, $f(x)$ se rapproche de $-2$.On dit que la limite de $f(x)$ est $-2$ quand $x$ tend vers 2 à gauche et on écrit $\lim _{x \rightarrow 2 \atop x<2} f(x)=-2$. [kezakoo section ="definition"] Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $] a, a+r\left[\right.$ tel que $r \in \mathbb{R}^{+*} \cdot f$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $a$ à droite si la proposition suivante est vraie:$(\forall \varepsilon>0)(\exists \alpha>0)\left(\forall x \in D_{f}\right)(a0)(\exists \alpha>0)\left(\forall x \in D_{f}\right)(a-\alphaExemple

Soit la fonction $f: x \mapsto \frac{(x+5)^{2}}{\left|x^{2}-5\right|}$ :
Pour étudier la limite de $f$ en $a=-5$, déterminons $\lim _{x \rightarrow-5^{+}} f(x)$ et $\lim _{x \rightarrow-5^{-}} f(x)=l$
$\forall x \in \mathbb{R} \backslash\{5,-5\}:$
Si $-5 Interprétation géométrique

Si la fonction $f$ vérifie l'une des limites suivantes: $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=+\infty$ ou $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=-\infty$ ou $\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=+\infty$ ou $\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=-\infty$ alors on dit que la droite $x=a$ est une asymtote
verticale.

Opérations sur les limites finies

Pour continuer cette fiche de cours, Inscris-toi gratuitement sur Kezakoo

Version gratuite de Kezakoo

• Fiches de cours illimitées
• Une vidéo gratuite par leçon
• 2 exercices gratuits par leçon
• Un test gratuit par leçon

S'inscrire gratuitement