1 ) Pour $$\mathbf{n}=\mathbf{0}$$ on a $$: U_{0}=1<2$$

Donc la relation est correcte pour $$\mathbf{n}=0$$

Pour tout $$\mathrm{n}$$ de $$\mathrm{N}$$ on suppose que $$ u_{n}<2 $$ et on montre que $$u_{n+1}<2 $$

$$ \begin{aligned} u_{n+1}-2 &=\frac{3 U_{n}-8}{2 U_{n}-5}-2 \\ &=\frac{3 U_{n}-8-4 U_{n}+10}{2 U_{n}-5} \\ &=\frac{2-U_{n}}{2 U_{n}-5} \end{aligned} $$

$$ \begin{array}{l} \text { Puisque } U_{n}<2 \text { Donc }-U_{n}+2>0 \\ \text { Puisque } 2 U_{n}<4 \text { Donc } 2 U_{n}-5<-1 \\ \text { Donc } u_{n+1}<2 \end{array} $$

$$ \text { - Donc par récurrence et pour tout } n \text { de } N \text { on déduit : } u_{n}<2 $$

2) a) on a :

$$ \begin{aligned} V_{n+1}-V_{n} &=\frac{U_{n+1}-3}{U_{n+1}-2}-\frac{U_{n}-3}{U_{n}-2} \\ &=\frac{\frac{3 U_{n}-8}{2 U_{n}-5}-3}{\frac{3 U_{n}-8}{2 U_{n}-5}-2}-\frac{U_{n}-3}{U_{n}-2} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} &=\frac{\frac{3 U_{n}-8-6 U_{n}+15}{2 U_{n}-5}}{\frac{3 U_{n}-8-4 U_{n}+10}{2 U_{n}-5}}-\frac{U_{n}-3}{U_{n}-2} \\ &=\frac{7-3 U n}{2-U_{n}}-\frac{3-U_{n}}{2-U_{n}} \end{aligned} $$

$$ \begin{array}{l} =\frac{7-3 U_{n}-3+U_{n}}{2-U_{n}} \\ =\frac{4-2 U n}{2-U n}=\frac{2(2-U n)}{(2-U n)}=2 \end{array} $$

$$ \text { Donc on déduit que }\left(v_{n}\right) \text { est une sulte arithmétique de raison } 2 $$  

2) b) puisuqe (𝑣_𝑛 ) est une suite arithmétique de raison 2 donc :

$$ V_{n}=V_{0}+n r $$ On a $$ V_{0}=\frac{U_{0}-3}{U_{0}-2}=\frac{1-3}{1-2}=\frac{-2}{-1}=2 $$ Donc $$ V_{n}=2+2 n $$

Et on a :

$$ \begin{array}{l} V_{n}=\frac{U_{n}-3}{U_{n}-2} \\ V_{n}\left(U_{n}-2\right)=U_{n}-3 \\ V_{n} U_{n}-U_{n}=2 V_{n}-3 \\ U_{n}=\frac{2 V_{n}-3}{V_{n}-1} \\ U_{n}=\frac{2(2+2 n)-3}{2+2 n-1} \\ U_{n}=\frac{4+4 n-3}{2 n+1} \end{array} $$

Donc

$$ U_{n}=\frac{4 n+1}{2 n+1} $$

2) c)

$$ \begin{array}{l} \lim _{n \rightarrow+\infty} U_{n}=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{4 n+1}{2 n+1} \\ \lim _{n \rightarrow+\infty} U_{n}=\frac{4 n}{2 n}=2 \end{array} $$