1. On a 

$$ u_{1}=\frac{2 u_{0}}{2 u_{0}+5}=\frac{2 \times \frac{3}{2}}{2 \times \frac{3}{2}+5}=\frac{3}{3+5}=\frac{3}{8} $$

2. On montre par récurrence que pour tout n de N ,  $$u_{n}>0$$ $$ \begin{array}{c} Pour n=0 \\ on a u_{0}=\frac{3}{2} \\

donc u_{0}>0 \end{array} $$

Donc la relation est correcte pour $$n=0 \\$$ Soit $$ n \in \mathbb{N} $$ On suppose que $$u_{n}>0$$ et on montre que $$u_{v+1}>0$$ D’après la supposition , on a $$u_{n}>0$$

Donc $$ \begin{array}{r} 2 u_{n}+5>0 \ et  { , } 2 u_{n}>0 \\ Donc \frac{2 u_{n}}{2 u_{n}+5}>0 \\ Alors u_{n+1}>0 \end{array} $$

La relation est correcte pour $$n+1$$ On déduit alors par récurrence que pour tout n de N $$ 0<u_{n+1} \leq \frac{2}{5} u_{n} $$  

3. a) 

$$\begin{array}{l} \theta_{n} \text { sait que } U_{n} \geqslant 0 \Rightarrow 2 U_{n} \geqslant 0 \\ \Rightarrow 2 U_{n}+5 \geqslant 0 \Rightarrow \frac{1}{2 U_{n}+5} \leqslant \frac{1}{5} \\ \Rightarrow \frac{2 U_{n}}{2 U_{n}+5} \leqslant \frac{2}{5} U_{n} \\ \Rightarrow \quad U_{n+1} \leqslant \frac{2}{5} U_{n} \\ \Rightarrow 0 \leqslant U_{n+1} \leqslant \frac{2}{5} U_{n} \end{array} $$ $$ \begin{array}{l} \text { On montre par récurrence que } 0 \leqslant \bigcup_{n} \leqslant \frac{3}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{n} \\ \text { On a pour } n=0 \quad U_{0}=\frac{3}{2} \text { et } 0 \leqslant \frac{3}{2} \leqslant \frac{3}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{0} \\ \text { La relation est correcte pour } n=0 \end{array} $$ $$ \begin{array}{l} \text { On suppose que } 0 \leqslant \bigcup_{n} \leqslant \frac{3}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{n} \text { et on montre que } \\ \mid 0 \leqslant U_{n+1} \leqslant\left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1} \end{array} $$ $$ \begin{array}{l} \text { D'après la supposition, on a } 0<U_{n} \leqslant \frac{3}{2}\left(\frac{2}{5}\right)^{n} \\ \text { Donc } 0<\frac{2}{5} U_{n}+1 \leqslant \frac{3}{2}\left(\frac{2}{5}\right)^{n+1} \\ \text { Et on sait que } \quad 0<U_{n+1} \leqslant \frac{2}{5} U_{n} \\ \text { Donc } 0\left\langle U_{n+1} \leqslant \frac{2}{5} U_{n} \leqslant \frac{3}{2}\left(\frac{2}{5}\right)^{n+1}\right. \\ \text { Alors } \quad 0<U_{n}+1 \leqslant \frac{3}{2}\left(\frac{2}{5}\right)^{n+1} \end{array} $$  

b)

$$ \begin{array}{l} \text { Pour tout } n \text { de } \underline{N} \text { , on a } 0<\bigcup_{n} \leqslant \frac{2}{3}\left(\frac{2}{5}\right)^{n} \\ \text { Puisque }-1<\frac{2}{5}\left\langle 1 \text { donc } \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{2}{5}\right)^{n}=0\right. \\ \text { Donc } \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{2}{3}\left(\frac{2}{5}\right)^{n}=0 \\ \text { Et d'après la régle des gendarmes on déduit que : } \\ \qquad \lim _{n \rightarrow+\infty} U_{n}=0 \end{array} $$

4. a) soit n de N , on a :

$$ \begin{aligned} v_{n+1} &=\frac{4 u_{n+1}}{2 u_{n+1}+3} \\ &=\frac{4\left(\frac{2 u_{s}}{2 u_{n}+5}\right)}{2\left(\frac{2 u_{n}}{2 u_{n}+5}\right)+3} \\ &=\frac{\frac{8 u_{n}}{2 u_{n}+5}}{\frac{4 u_{n}+6 u_{s}+15}{2 u_{n}+5}} \\ &=\frac{8 u_{n}}{10 u_{n}+15} \\ &=\frac{2 \times 4 u_{n}}{5 \times\left(2 u_{n}+3\right)} \\ &=\frac{2}{5} \times v_{n} \end{aligned} $$

Donc $$ \left(v_{n}\right) \text { est une suite géométrique de raison } \frac{2}{5} $$  

b)

$$ \begin{array}{l} \text { On a }\left(V_{n}\right) \text { est une suite géométrique de raison } \frac{2}{5} \text { et on a } \\ \qquad V_{0}=\frac{4 U_{0}}{2 U_{0}+5}=\frac{6}{6}=1 \\ \text { Alors } V_{n}=V_{0} \times q^{n}=1 \times\left(\frac{2}{5}\right)^{n} \\ \text { Donc } V_{n}=\left(\frac{2}{5}\right)^{n} \text { pour tout } n \text { de } N \end{array} $$ Et on a :

$$ \begin{aligned} v_{n}=\frac{4 u_{n}}{2 u_{n}+3} & \Leftrightarrow 4 u_{n}=2 u_{n} v_{n}+3 v_{n} \\ & \Leftrightarrow 4 u_{n}-2 u_{n} v_{n}=3 v_{n} \\ & \Leftrightarrow u_{n}\left(4-2 v_{n}\right)=3 v_{n} \\ & \Leftrightarrow \quad u_{n}=\frac{3 v_{n}}{4-2 v_{n}} \end{aligned} $$  

Donc pour tout n de N : $$ u_{n}=\frac{3\left(\frac{2}{5}\right)^{n}}{4-2\left(\frac{2}{5}\right)^{n}} $$