1) a)

$$ \begin{array}{l} \text { On a: } \overrightarrow{A B}\left(\begin{array}{c} 0-1 \\ -2+1 \\ 1+1 \end{array}\right)=\overrightarrow{A B}\left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) \text { et } \overrightarrow{A C}\left(\begin{array}{c} 1-1 \\ -2+1 \\ 0+1 \end{array}\right)=\overrightarrow{A C}\left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) \text { . }\\ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \wedge \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right)=\left|\begin{array}{cc} -1 & -1 \\ 2 & 1 \end{array}\right| \overrightarrow{\mathrm{i}}-\left|\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}\right| \overrightarrow{\mathrm{j}}+\left|\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ -1 & -1 \end{array}\right| \overrightarrow{\mathrm{k}}=(-1+2) \overrightarrow{\mathrm{i}}-(-1+0) \overrightarrow{\mathrm{j}}+(1+0) \overrightarrow{\mathrm{k}} . \end{array} $$

$$ \text { Donc on déduit que } \overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k} $$

1 ) b) on a le vecteur $$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \wedge \overrightarrow{\mathrm{AC}}(1,1,1)$$ est un vecteur normal au plan $$(\mathrm{ABC})$$

donc équation du plan (ABC) est de la forme: $$\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}+\mathrm{d}=0$$

Le point $$\mathrm{A}(1,-1,-1)$$ appartienne au plan $$(\mathrm{ABC})$$

donc :

$$1 \times 1+1 \times(-1)+1 \times(-1)+\mathrm{d}=0$$

d'où $$\mathrm{d}=1$$.

$$ \text { Donc on déduit que } x+y+z+1=0 \text { est une équation cartésienne du plan }(A B C) $$

2) on a :

$$ x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x+2 y-2 z+1=0 \Leftrightarrow x^{2}-4 x+4-4+y^{2}+2 y+1-1+z^{2}-2 z+1-1+1=0 $$

$$ \begin{array}{l} \Leftrightarrow(x-2)^{2}-4+(y+1)^{2}-1+(z-1)^{2}-1+1=0 \\ \Leftrightarrow(x-2)^{2}+(y+1)^{2}+(z-1)^{2}=5=\sqrt{5}^{2} \end{array} $$

$$ \text { Donc le centre de la sphère }(S) \text { est } \Omega(2,-1,1) \text { et son rayon est } R=\sqrt{5} $$

3) a) on a :

$$ d(\Omega,(A B C))=\frac{\left|x_{\Omega}+y_{\Omega}+z_{\Omega}+1\right|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\frac{|2-1+1+1|}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3} $$

3) b) $$ \begin{array}{l} \text { Puisque le rayon du cercle est } \mathbf{R}=\sqrt{5} \text { et on a } ; \mathrm{d}(\Omega,(\mathrm{ABC}))=\sqrt{3}<\sqrt{5}\\ \text { D'où l'intersection du plan (ABC) et la sphère (S) sera un cercle (T). } \end{array} $$