1 . $$ \text { Soit } \begin{aligned} M(x, y, 2)=S & \Leftrightarrow \Omega M=r^{2} \Leftrightarrow(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(2-2)^{2}=3^{2} \\ & \Leftrightarrow x^{2}-4 x+4+y^{2}-2 y+1+z^{2}-4 z+4=9 \\ & \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x-2 y-4 z=0 \end{aligned} $$

$$ \begin{array}{l} \text { donc: } \\ \qquad\left(S^{\prime}\right): x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x-2 y-4 z=0 \end{array} $$  

2 . $$ \begin{array}{l} \text { Soit (P) Le plan passant par } A(-1 ; 0,3) \text { et } \vec{u}(4 ; 0:-3)=\text { est un vecteur normal } \\ \text { on a : } \quad(P): a x+b y+c z+d=0 \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} (P): 4 x+0 y-3 z+d=0 \quad \operatorname{avec} \vec{u}(4,0,-3) \\ d=? \text { on a }(P) \text { passe } \operatorname{par} A \Rightarrow 4 x_{A}-3 x_{A}+d=0 \\ \text { donc: } 4 \times(-1)-3 \times(3)+d=0 \\ \therefore-4-9+d=0 \quad \Rightarrow \quad d=13 \\ d’où (P): 4 x-3 z+13=0 \end{array} $$  

3 .a) On a la droite $$(\Delta)$$ passe par le point $$\Omega$$

Et puisque le vecteur $$\vec{u}(4,0,-3)$$ est un vecteur normal au plan $$(P)$$ et la droite $$(\Delta)$$ est perpendiculaire au $$\operatorname{plan}(P)$$

Donc le vecteur $$\vec{u}(4,0,-3)$$ est un vecteur directeur de la droite $$(\Delta)$$

$$ \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x=2+4 t \\ y=1 \\ z=2-3 t \end{array} \quad t \in \mathbb{R} \text { clonc: }(\Delta)=\left\{\begin{array}{l} x=2+4 t \\ y=1 \\ z=2-3 t \end{array} \quad(t \in \mathbb{R})\right.\right. $$  

3 .b) $$ \begin{array}{l} (\Delta):\left\{\begin{array}{l} x=2+4 t \\ y=1 \\ z=2-3 t \end{array} / t \in \mathbb{R},(p): 4 x-3 z+13=0\right.\\ H \in(p) \Leftrightarrow 4 x_{H}-3 z_{H}+13=0\\ \Leftrightarrow 4(2+4 t)-3(2-3 t)+13=0\\ \Leftrightarrow 8+16 t-6+9 t+13=0 \end{array} $$

$$ \begin{array}{c} \Leftrightarrow 25 t+15=0 \\ \Leftrightarrow t=\frac{-15}{25} \\ \Leftrightarrow t=\frac{-3}{5} \end{array} $$

$$ \left\{\begin{array}{l} x=-4 \cdot\left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{2}{5} \\ y=1 \\ z=2-3\left(-\frac{3}{5}\right)=\frac{19}{5} \end{array} \quad\right. \text { donc: } $$ $$ H\left(-\frac{2}{5}, 1, \frac{19}{5}\right) $$  

4 .a) $$ \begin{aligned} \ d(\Omega,(P)) &=\frac{|4 \times 2-3 \times 2+13|}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}} \\ &=\frac{|8-6+13|}{\sqrt{16+9}}=\frac{15}{5}=3 \end{aligned} $$

4 .b) On a $$d(\Omega,(P))=3$$ et $$R=3 \quad$$ donc $$d=R$$

Donc le plan $$(P)$$ est tangent à la sphère $$(S)$$ en un point

Et ce point de tangence est la projection orthogonale de point $$\Omega \operatorname{sur}(P):$$ point d'intersection de la droite $$(\Delta)$$ et du plan (P), c'est le point H