1 .a) On a :

$$ \begin{aligned} M(x, y, z) \in(S) & \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-2 y-2 z-1=0 \\ & \Leftrightarrow x^{2}-2 x+y^{2}-2 y+z^{2}-2 z=1 \\ \Leftrightarrow x^{2}-2(1) x+(1)^{2}+& y^{2}-2(1) y+(1)^{2}+z^{2}-2(1) z+(1)^{2}=1+(1)^{2}+(1)^{2}+(1)^{2} \\ & \Leftrightarrow(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=4 \\ \Leftrightarrow &(x-(1))^{2}+(y-(1))^{2}+(z-(1))^{2}=(2)^{2} \end{aligned} $$

$$ \text { Donc: la sphère (S) a pour centre le point } \Omega(1,1,1) \text { et pour rayon } 2 \text { . } $$  

1 .b) on a :

$$ d(\Omega,(P))=\frac{|(1)-(1)|}{\sqrt{(0)^{2}+(1)^{2}+(1)^{2}}}=0 $$

$$ \begin{array}{l} \text { puisque: } \mathrm{d}(\Omega, \mathrm{P})<\mathrm{R}(\mathrm{R}=2) \text { . }\\ \text { alors: le plan (P) coupe la sphère (S) suivant un cercle (C). } \end{array} $$  

1 .c) puisque:

$$\mathrm{d}(\Omega, \mathrm{P})=0$$

alors: le plan $$\mathrm{P}$$ coupe la sphère (S) suivant un grand cercle (C).  

Le centre du grand cercle (C) est la projection orthogonale du point $$\Omega$$ (centre de la sphère (S)) sur le plan $$(P)$$ c'est le point $$\Omega(1,1,1)$$ car $$(\Omega \in(\mathrm{P}))$$. 

Le rayon du grand cercle (C): $$r=\sqrt{R^{2}-d^{2}(\Omega,(P))}=\sqrt{2^{2}-0^{2}}=2$$.  

On conclue: la cercle (C) a pour centre le point $$\Omega(1,1,1)$$ et pour rayon $$2$$ .  

2 .a) on a le plan $$(P)$$ d'équation $$y-z=0$$. 

d' où: $$\vec{u}(0,1,-1)$$ est un vecteur normal du plan $$(P)$$. 

on a aussi:

$$(\Delta)$$ orthogonale au plan $$(P)$$. 

Donc:

$$\vec{u}(0,1,-1)$$ est un vecteur directeur de la droite $$(\Delta)$$.  

2 .b) $$ \begin{array}{l} \text { on a: } \Omega(1,1,1) \& \mathrm{~A}(1,-2,2) \rightarrow \overrightarrow{\Omega A}(0,-3,1) \text { et } \vec{u}(0,1,-1)\\ \text { d' où: } \overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}=\left|\begin{array}{cc} -3 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right| \vec{i}-\left|\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{array}\right| \vec{j}+\left|\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ -3 & 1 \end{array}\right| \vec{k}=2 \cdot \vec{i}\\ \text { Alors: }|| \overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u} \|=2 \text { . }\\ \text { puisque: }\|\vec{u}\|=\sqrt{(0)^{2}+(1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2} \text { . }\\ \text { Donc: }|| \overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}\|=\sqrt{2}|| \vec{u}\| \text { . } \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} \text { On a: } d(\Omega, \Delta)=\frac{\|\overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}\\ \text { puisque: }|| \overrightarrow{\Omega A} \wedge \vec{u}\|=\sqrt{2}\| \vec{u} \| \text { . }\\ \text { Alors: } d(\Omega, \Delta)=\sqrt{2}\\ \text { d'où } \mathrm{d}(\Omega, \Delta)<\mathrm{R}(\mathrm{R}=2)\\ \text { Donc: la droite }(\Delta) \text { coupe la sphère (S) en deux points d'intersection. } \end{array} $$  

$$ \text { Donc on déduit que la droite }(\Delta) \text { coupe la sphère (S) en deux points. } $$  

2 .c) on a : une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ :

$$\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=-2+t(\text { avec } t \in \mathbb{R}) \\ z=2-t\end{array}\right.$$ Déterminons les coordonnées du point $$M$$ d'intersection de la droite $$(\Delta)$$ et de la sphère $$(\mathrm{S})$$. On remplace les inconnues $$x, y$$ et $$z$$ de l'équation de la sphère (S) par celles de la droite $$(\Delta)$$.

On trouve:

$$t^{2}-4 t+3=0$$. en effet: $$\Delta=4$$

d' où: $$t=1$$ ou $$t=3$$.

alors:

pour $$\mathrm{t}=1$$

$$\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=-2+1=-1 \\ z=2-1=1\end{array}\right.$$ pour $$t=3$$ $$\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=-2+3=1 \\ z=2-3=-1\end{array}\right.$$

Donc:

$$(\Delta) \cap(S)=\left\{A_{1}(1,-1,1) ; A_{2}(1,1,-1)\right\}$$.