1 .a) Pour $$ n=0 $$ on a : $$ \begin{array}{l} u_{0}=2 \\ u_{0}>1 \end{array} $$ $$ \text { Donc la relation est correcte pour } \mathrm{n}=0 $$ $$ \text { - Pour tout } n \text { de } N \text { on suppose que } u_{n}>1 \text { et on montre que } u_{n+1}>1 $$ On a : $$ U_{n+1}-1=\frac{U_{n}}{16}+\frac{15}{16}-1=\frac{U_{n}}{16}+\frac{15-16}{16}=\frac{U_{n}}{16}-\frac{1}{16}=\frac{1}{16}\left(U_{n}-1\right) $$ On a : $$ U_{n}>1 \Rightarrow U_{n}-1>0 $$ Donc : $$ U_{n+1}-1>0 \Rightarrow U_{n+1}>1 $$ $$ \text { - Donc on déduit par récurrence que } u_{n}>1 \text { pour tout entier naturel } n $$   1 .b) $$ \text { pour tout entier naturel } n \text { , on a : } $$ $$ \begin{aligned} U_{n+1-} U_{n} &=\frac{U_{n}}{16}+\frac{15}{16}-U_{n}=\frac{U_{n}-16 U_{n}}{16}+\frac{15}{16} \\ &=\frac{-15 U_{n}}{16}+\frac{15}{16}=\frac{-15}{16}\left(U_{n}-1\right) \end{aligned} $$ On a : $$u_{n+1}-u_{n}=-\frac{15}{16}\left(u_{n}-1\right)$$ pour tout entier naturel $$n$$ Et on a trouvé que $$u_{n}>1$$ pour tout entier naturel $$n$$ Et on a : $$ \begin{array}{r} u_{n}-1>0 \\ \frac{-15}{16}\left(u_{n}-1\right)<0 \end{array} $$ Donc $$ u_{n+1}-u_{n}<0 $$ $$ \text { Donc on déduit que la suite }\left(u_{n}\right) \text { est décroissante. } $$   1 .c) $$ \text { On a la suite }\left(u_{n} \text { ) est décroissante et minorée par } 1\right. \text { donc elle est convergente } $$   2  .a) $$ \text { pour tout entier naturel } n \text { , on a: } $$ $$ \begin{aligned} v_{n+1} &=u_{n+1}-1 \\ =& \frac{1}{16} u_{n}+\frac{15}{16}-1 \\ =& \frac{1}{16} u_{n}-\frac{1}{16} \\ =& \frac{1}{16}\left(u_{n}-1\right) \\ &=\frac{1}{16} v_{n} \end{aligned} $$ $$ \text { Donc on déduit que }\left(v_{n}\right) \text { est une suite géométrique de raison } \frac{1}{16} $$ Et on a $$ v_{n}=v_{0} \times q^{n} $$ Donc : $$ v_{n}=1 \times\left(\frac{1}{16}\right)^{n} $$   2 .b) $$ \text { pour tout entier naturel } n \text { , on a: } $$ $$ v_{n}=u_{n}-1 $$ Donc : $$ u_{n}=v_{n}+1 $$ D’où : $$ u_{n}=v_{n}+1 $$ Et on a : $$ \lim _{n \rightarrow+\infty} U_{n}=\lim _{n \rightarrow+\infty} 1+\left(\frac{1}{16}\right)^{n}=1+0=1 $$ Car : $$ \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{16}\right)^{n}=0 $$ Puisque : $$ -1<\frac{1}{16}<1 $$