1. $$ \text { pour tout entier naturel } n \text { , on a : } $$
$$ \begin{aligned} u_{n+1}-3 &=\frac{3+u_{n}}{5-u_{n}}-3 \\ =& \frac{3+u_{n}-15+3 u_{n}}{5-u_{n}} \\ &=\frac{4 u_{n}-12}{5-u_{n}} \\ &=\frac{4\left(u_{n}-3\right)}{2+\left(3-u_{n}\right)} \end{aligned} $$
$$ \text { Donc on déduit que } u_{n+1}-3=\frac{4\left(u_{n}-3\right)}{2+\left(3-u_{n}\right)} \text { pour tout entier naturel } n $$
Pour $$n=0$$ on a : $$U_{0}=2<3$$
Donc la relation est correcte pour $$\mathrm{n}=0$$
$$ \text { - Pour tout } n \text { de } N \text { on suppose que } u_{n}<3 \text { et on montre que } u_{n+1}<3 $$
On a :
$$ u_{n+1}-3=\frac{4\left(u_{n}-3\right)}{2+\left(3-u_{n}\right)} $$
Et selon la supposition on a : $$ u_{n}<3 $$
Donc :
$$ 3-u_{n}>0 et u_{n}-3<0 $$
Donc :
$$ \frac{4\left(u_{n}-3\right)}{2+\left(3-u_{n}\right)}<0 $$
$$ \text { Donc on déduit par récurrence que } u_{n}<3 \text { pour tout entier naturel } n $$
2 .a) $$ \text { pour tout entier naturel } n \text { , on a : } $$
$$ \begin{aligned} v_{n+1} &=\frac{u_{n+1}-1}{3-u_{n+1}} \\ & \frac{\frac{3+u_{n}}{5-u_{n}}-1}{\frac{4\left(3-u_{n}\right)}{5-u_{n}}} \\ =& \frac{\frac{3+u_{n}-5+u_{n}}{5-u_{n}}}{\frac{4\left(3-u_{n}\right)}{5-u_{n}}} \\ =& \frac{2 u_{n}-2}{4\left(3-u_{n}\right)} \\ =& \frac{2\left(u_{n}-1\right)}{4\left(3-u_{n}\right)} \\ &=\frac{1}{2} \times v_{n} \end{aligned} $$
$$ \text { Donc on déduit que }\left(v_{n}\right) \text { est une suite géométrique de raison } \frac{1}{2} $$
$$ \begin{array}{l} \text { On a }\left(v_{n}\right) \text { est une suite géométrique de raison } \frac{1}{2} \\ \begin{aligned} V_{n}=V_{0} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{n} &=1 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \\ V_{n} &=\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \end{aligned} \end{array} $$
$$ \text { Donc on déduit que } v_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \text { pour tout entier naturel } n $$
2 .b) $$ \text { pour tout entier naturel } n \text { , on a : } $$
$$ \begin{aligned} v_{n}=\frac{u_{n}-1}{3-u_{n}} & \Leftrightarrow u_{n}-1=\left(3-u_{n}\right) v_{n} \\ & \Leftrightarrow \quad u_{n}-1=3 v_{n}-u_{n} v_{n} \\ & \Leftrightarrow \quad u_{n}+u_{n} v_{n}=1+3 v_{n} \\ & \Leftrightarrow u_{n}\left(1+v_{n}\right)=1+3 v_{n} \\ & \Leftrightarrow \quad u_{n}=\frac{1+3 v_{n}}{1+v_{n}} \end{aligned} $$
$$ \text { Donc on déduit que } u_{n}=\frac{1+3 v_{n}}{1+v_{n}} \text { pour tout entier naturel } n $$
On a $$u_{n}=\frac{1+3 v_{n}}{1+v_{n}}$$ pour tout entier naturel $$n$$
Et on a $$v_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$$ pour tout entier naturel $$n$$
Donc :
$$ u_{n}=\frac{1+3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}{1+\left(\frac{1}{2}\right)^{n}} $$
2 .c) on a :
$$ \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1+3\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}{1+\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}=\frac{1}{1} $$
Car :
$$ \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=0 \text { car }-1<\frac{1}{2}<1 $$