Fiche de cours

Bnti liya mafhmti waloo! wa zid(i) kmml l cours ou ghatfhm(i) l blan!

La fonction exponentielle népérienne

تعريف

La fonction réciproque de la fonction logarithme népérienne est appelée la fonction exponentielle népérienne, et on la note exp.

مثال

  • ln(1)=0 $$\Leftrightarrow$$ exp(0)=1
  • ln(e)=1 $$\Leftrightarrow$$ exp(1)=e
  • ln(3)=1.1 $$\Leftrightarrow$$ exp(1.1)=3

خاصية

  1. La fonction exp est une bijection de $$\mathbb{R}$$ vers $$\mathbb{R}^*_+$$
  2.  ($$\forall x \in \mathbb{R}$$) $$exp(x)>0$$
  3.  ($$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$$) $$exp(x)=exp(y) \Leftrightarrow x=y$$
  4.  La fonction exp est continue et strictement croissante sur $$\mathbb{R}$$
  5.  ($$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$$) $$exp(x)>exp(y) \Leftrightarrow x>y$$
  6.  ($$\forall x \in \mathbb{R}$$) $$ln(exp(x))=x$$
  7.  ($$\forall x > 0$$) $$exp(ln(x))=x$$

خاصية

Soient x et y des éléments de $$\mathbb{R}$$ et r un élément de $$\mathbb{Q}$$

  1.  $$exp(x+y)=exp(x).exp(y)$$
  2.  $$exp(-x)=\frac{1}{exp(x)}$$
  3.  $$exp(x-y)=\frac{exp(x)}{exp(y)}$$
  4.  $$exp(r.x)= (exp(x))^r$$

تطبيق

Prouver, que pour tout $$x \in \mathbb{R}$$ : $$exp(-x)-exp(-2x)=\frac{exp(x)-1}{exp(2x)}\\$$ Correction 

  • $$exp(-x)-exp(-2x) = exp(-2x)\left(\frac{ exp(-x)}{ exp(-2x)}-1\right)$$ =$$\frac{exp(x)-1}{exp(2x)}$$

Une nouvelle écriture de la fonction exp

Sachant que: $$exp(1)=\text{e}\\$$ On a: $$(\forall r \in Q$$) $$exp(r)=exr(r.1)=(exp(1))^r=\text{e}^r \\$$ En prolongera cette écriture en notant pour tout $$x\in \mathbb{R}: exp(x)=\text{e}^x$$

خاصية

Avec cette nouvelle notation, on résume les résultats vus précédemment par:

  1.  ($$\forall x \in \mathbb{R}$$) $$\text{e}^x>0$$
  2.  ($$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$$) $$\text{e}^x=\text{e}^y \Leftrightarrow x=y$$
  3.  ($$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$$) $$\text{e}^x>\text{e}^y \Leftrightarrow x>y$$
  4.  ($$\forall x \in \mathbb{R}$$) $$ln(\text{e}^x)=x$$
  5.  ($$\forall x > 0$$) $$\text{e}^{ln(x)}=x$$
  6.  $$\text{e}^{x+y}=\text{e}^x.\text{e}^y$$
  7.  $$\text{e}^{-x}=\frac{1}{\text{e}^x}$$
  8.  $$\text{e}^{x-y}=\frac{\text{e}^x}{\text{e}^y}$$
  9.  $$\text{e}^{r.x}= (\text{e}^x)^r$$

تطبيق

Prouver, que pour tout $$x \in \mathbb{R}$$ :

  1. $$\frac{1-\text{e}^{-2x}}{1+\text{e}^{-2x}}=\frac{\text{e}^{2x}-1}{\text{e}^{2x}+1}$$
  2. $$\left(\text{e}^x+\text{e}^{-x}\right)^2-2=\frac{\text{e}^{4x}+1}{\text{e}^{2x}}$$

Solution

  1. $$\frac{1-\text{e}^{-2x}}{1+\text{e}^{-2x}} = \frac{\text{e}^{-2x}\left(\text{e}^{2x}-1\right)}{\text{e}^{-2x}\left(\text{e}^{2x} + 1\right)}= \frac{\text{e}^{2x}-1}{\text{e}^{2x}+1}$$
  2. $$\left(\text{e}^x+\text{e}^{-x}\right)^2-2= \text{e}^{2x} + 2 + \text{e}^{-2x} – 2$$ $$= \text{e}^{2x}+ \text{e}^{-2x} $$ $$= \text{e}^{-2x}\left(\frac{ \text{e}^{2x}}{ \text{e}^{-2x}} + 1\right)$$ $$=\frac{\text{e}^{4x}+1}{\text{e}^{2x}}$$

Les limites usuelles de la fonction exponentielle

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