Les nombres complexes

L'ENSEMBLE DES NOMBRES

COMPLEXES NOTION DE NOMBRE COMPLEXE

Théorème 1

Il existe un ensemble noté $C$ contenant $\mathbb{R}$, - muni d'une addition notée $+$ et d'une multiplication notée $*$, ou le plus souvent implicitement (c'est-à-dire sans symbole, comme dans $\mathbb{R}$ ) possédant les mêmes propriétés comme dans $\mathbb{R}$. - possédant un élément noté $i$ dont le carré vaut $-1: i^{2}=-1$. - où tout élément $z$, appelé nombre complexe ou complexe, s'écrit de manière unique sous la forme $z=x+i y$, avec $x$ et $y$ réels.

Remarques

- On a alors: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ - L'addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes.

- Contrairement à $\mathbb{R}$, l'ensemble $\C$ n'est usuellement muni d'aucune relation d'ordre et nous ne pourrons donc pas dire qu'un nombre complexe est inférieur à un autre ou non plus qu'il est positif. - Les nombres complexes $x+i y$ et $x+y i$ où $(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}$ représentent le même nombre complexe.

On a: $\quad \mathbb{C}=\left\{x+i y /(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}\right\}$

LA FORME ALGÉBRIQUE D'UN NOMBRE COMPLEXE

Exemple

On considère le nombre complexe: $z=5+2 i(1-3 i)$ On $\mathrm{a}: z=5+2 i-6 i^{2}=5+2 i+6=11+2 i$ .On a alors: $\operatorname{Re}(z)=11$ et $\operatorname{Im}(z)=2$.

ÉGALITÉ DE DEUX NOMBRES COMPLEXES

Proposition 1

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont mêmes parties réelles et mêmes parties imaginaires. En d'autres termes: $ \left(\forall\left(z ; z^{\prime}\right) \in \mathbb{C}^{2}\right) \quad z=z^{\prime} \Leftrightarrow\left(\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right) \text { et } \operatorname{Im}(z)=\operatorname{Im}\left(z^{\prime}\right)\right) $

Remarques

- Le résultat de la proposition 1 est une conséquence immédiate de l'unicité de la forme algébrique d'un nombre complexe.

- Pour tout nombre complexe $z: \quad z=0 \Leftrightarrow(\operatorname{Re}(z)=0$ et $\operatorname{Im}(z)=0)$

Exemple

On considère deux nombres complexes:

$z_{1}=x-1+(y+2) i$ et $z_{2}=-2 x i+y$ où $(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}$ Déterminons $x$ et $y$ pour que $z_{1}=z_{2}:$ On a: $\quad z_{1}=z_{2} \Leftrightarrow(x-1=y$ et $y+2=-2 x) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x-y=1 2 x+y=-2\end{array} \Leftrightarrow\left(x=-\frac{1}{3}\right.\right.$ et $\left.y=-\frac{4}{3}\right)$

OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES COMPLEXES ADDITION ET MULTIPLICATION DANS C

Proposition 2

Soit $z$ et $z^{\prime}$ deux nombres complexes tels que :

$z=x+i y$ et $z^{\prime}=x^{\prime}+i y^{\prime}$ avec $\left(x, x^{\prime}, y, y^{\prime}\right) \in \mathbb{R}^{4}$.

On a:

- $z+z^{\prime}=x+x^{\prime}+i\left(y+y^{\prime}\right)$ et $z \times z^{\prime}=x x^{\prime}-y y^{\prime}+i\left(x y^{\prime}+x y^{\prime}\right)$.

- Pour tout $\lambda \in \mathbb{R}: \lambda z=\lambda x+i(\lambda y)$.

Exemple

On considère les nombres complexes suivants:

$z_{1}=5-4 i \quad ; \quad z_{2}=3+6 i ; \quad z_{3}=3+i \sqrt{2}$

Écrivons les nombres complexes suivants sous forme algébrique :

$z_{1}+z_{2} \quad ; \quad z_{1} \times z_{2} \quad ; \quad z_{1} \times z_{3} ;-5 z$, $\begin{aligned} &\cdot z_{1}+z_{2}=5-4 i+3+6 i=8+2 i &\cdot z_{1} \times z_{2}=(5-4 i)(3+6 i)=15+30 i-12 i+24=39+18 i &\cdot z_{1} \times z_{3}=(5-4 i)(3+i \sqrt{2})=15+5 \sqrt{2} i-12 i+4 \sqrt{2}=(15+4 \sqrt{2})+(-12+5 \sqrt{2}) i &\text { - }-5 z_{2}=-5(3+6 i)=-15-30 i\end{aligned}$

Remarques

Pour tout $\left(z ; z^{\prime}\right) \in \mathbb{C}^{2}$ et pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$ on a :

$ \left\{\begin{array} { l } { \operatorname { Re } ( z + z ^ { \prime } ) = \operatorname { Re } ( z ) + \operatorname { R e } ( z ^ { \prime } ) } { \operatorname { Im } ( z + z ^ { \prime } ) = \operatorname { Im } ( z ) + \operatorname { I m } ( z ^ { \prime } ) } \end{array} \quad \text { et } \quad \left\{\begin{array}{l} \operatorname{Re}(\lambda z)=\lambda \operatorname{Re}(z) \operatorname{Im}(\lambda z)=\lambda \operatorname{lm}(z) \end{array}\right.\right. $ .

Si $k$ $\in \mathbb{N}$, alors $i^{2 k}=\left(i^{2}\right)^{k}=(-1)^{k}$.

Il en résulte donc: $i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, \quad i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$

OPPOSE D'UN COMPLEXE - DIFFÉRENCE DE DEUX COMPLEXES

Proposition 3

Tout nombre complexe $z=x+i y$, où $x$ et $y$ sont des réels, possède un opposé dans $\mathbb{C}$, noté $-z$, qui est le nombre complexe $-x-i y$,

et on écrit:

$-z=-x-i y$. Donc: $ \operatorname{Re}(-z)=-\operatorname{Re}(z) \text { et } \operatorname{Im}(-z)=-\operatorname{Im}(z) $

Remarque

- Si $x, x^{\prime}, y$ et $y$ ' sont des nombres réels alors: $(x+i y)-\left(x^{\prime}+i y^{\prime}\right)=x-x^{\prime}+i\left(y-y^{\prime}\right)$ . Les identités remarquables vues dans $\mathbb{R}$ restent aussi valables dans $\mathbb{C}$. Ainsi, pour tous nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$, on a : $ \left(z_{1}+z_{2}\right)^{2}=z_{1}^{2}+2 z_{1} \cdot z_{2}+z_{2}^{2} ;\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}=z_{1}^{2}-2 z_{1} \cdot z_{2}+z_{2}^{2} \quad ; \quad\left(z_{1}+z_{2}\right)\left(z_{1}-z_{2}\right)=z_{1}^{2}-z_{2}^{2} $ En particulier, on a les égalités suivantes, valables pour tout $(a ; b) \in \mathbb{R}^{2}$ : $ (a+i b)^{2}=a^{2}-b^{2}+2 a b i \quad ; \quad(a-i b)^{2}=a^{2}-b^{2}-2 a b i \quad ; \quad(a+i b)(a-i b)=a^{2}+b^{2} $ On a aussi : $\left(z_{1}+z_{2}\right)^{3}=z_{1}^{3}+3 z_{1}^{2} \cdot z_{2}+3 z_{1} \cdot z_{2}^{2}+z_{2}^{3} \quad ; \quad\left(z_{1}-z_{2}\right)^{3}=z_{1}^{3}-3 z_{1}^{2} \cdot z_{2}+3 z_{1} \cdot z_{2}^{2}-z_{2}^{3}$ $ z_{1}^{3}-z_{2}^{3}=\left(z_{1}-z_{2}\right)\left(z_{1}^{2}+z_{1} \cdot z_{2}+z_{2}^{2}\right) \quad ; \quad z_{1}^{3}+z_{2}^{3}=\left(z_{1}+z_{2}\right)\left(z_{1}^{2}-z_{1} \cdot z_{2}+z_{2}^{2}\right) $

- Un produit de nombres complexes est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul. En particulier: $\quad\left(\forall\left(z ; z^{\prime}\right) \in \mathbb{C}^{2}\right) \quad z \times z^{\prime}=0 \Leftrightarrow\left(z=0\right.$ ou $\left.z^{\prime}=0\right)$

Exemples

Pour tout $z \in \mathbb{C}$, on pose: $z_{1}=5-i z$ et $z_{2}=z+i\left(z^{2}+1\right)$

1- Écrivons les nombres $z_{1}$ et $z_{2}$ sous leur forme algébrique dans chacun des cas suivants :
a) $z=i$

b) $z=2+3 i$

c) $z=(1-3 i)^{2}$

solution

a) On a: $z_{1}=5-i^{2}=5-(-1)=6$ et $z_{2}=i+i\left(i^{2}+1\right)=i+i(-1+1)=1$

b) On a: $z_{1}=5-i(2+3 i)=5-2 i-3 i^{2}=5-2 i+3=8-2 i$ et: $z_{2}=2+3 i+i\left((2+3 i)^{2}+1\right)=2+3 i-i(-4+12 i)=-10-1$.

c) On a: $z_{1}=5-i(1-3 i)^{2}=5-i(-8-6 i)-5+8 i-6=-1+8 i$ et: $z_{2}=(1-3 i)^{2}+i\left((1-3 i)^{4}+1\right)=-8-6 i+i\left((-8-6 i)^{2}+1\right)=-8-6 i+i(29+96 i)=-104+23 i$

2) On considère le nombre complexe: $t=1+\sqrt{3}+i(1-\sqrt{3})$

Calculons puis mettons sous forme algébrique les nombres $t^{2}, t^{4}$ et $t^{6}$:

- On a $: t^{2}=(1+\sqrt{3})^{2}-(1-\sqrt{3})^{2}+2 i(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})=4(\sqrt{3}-i)=4 \sqrt{3}-4 i$

- On a $: t^{4}=[4(\sqrt{3}-i)]^{2}=16(\sqrt{3}-i)^{2}=16(2-2 i \sqrt{3})=32-32 \sqrt{3} i$ - On $a: t^{6}=t^{2} \times t^{4}=4(\sqrt{3}-i) \times 32(1-i \sqrt{3})=128(\sqrt{3}-i)(1-i \sqrt{3})=128(-4 i)=-512 i$

- On a: $t^{12}=\left(t^{6}\right)^{2}=(-512 i)^{2}=\left(-2^{9} i\right)^{2}=-2^{18}$.

INVERSE D'UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL QUOTIENT DE DEUX NOMBRES COMPLEXES

Proposition 4

Soit $z=x+i y$ un nombre complexe non nul tels que $(x ; y) \in \mathbb{R}-\{(0,0)\}$. L'inverse du nombre $z$ est le nombre complexe noté $\frac{1}{z}$ ou $z^{-1}$

tel que :

$ \frac{1}{z}=\frac{1}{x+i y}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}(x-i y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-i \frac{y}{x^{2}+y^{2}} $

Exemples

1) Déterminons l'inverse du nombre complexe $z=(1-2 i)(3+2 i)$ :

On a: $z=3+2 i-6 i+4=7-4 i .

$ Donc: $\frac{1}{z}=\frac{1}{7-4 i}=\frac{7+4 i}{7^{2}+(-4)^{2}}=\frac{7}{65}+\frac{4}{65} i$

2) Écrivons sous forme algébrique le nombre complexe :

$z=\frac{1}{1+2 i}+\frac{1}{3-4 i}$ On a : $z=\frac{1}{1+2 i}+\frac{1}{3-4 i}=\frac{1-2 i}{1^{2}+2^{2}}+\frac{3+4 i}{3^{2}+(-4)^{2}}=\frac{1-2 i}{5}+\frac{3+4 i}{25}=\frac{5-10 i+3+4 i}{25}=\frac{8}{25}-\frac{6}{25} i$

3) L'inverse du nombre complexe $i$ est le nombre :

$\frac{1}{i}=-i$

Applications

1. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe suivant :

$Z=(2+i \sqrt{3})(3-4 i)+\left(1+\frac{1}{2} i\right)^{2}$.

2. Déterminer la forme algébrique du nombre $u=\frac{1}{z}-\frac{1}{z^{\prime}}$ sachant que: $z=1-3 i$ et $z^{\prime}=\frac{3}{2}+5 i$.

3. Soit: $j=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i$

a) Calculer $j^{2}$ et $j^{3}$.

b) Soit $k \in \mathbb{N}$. Calculer $j^{k}$ selon les valeurs de $k$.

c) Vérifier que : $1+j+j^{2}=0$.

d) Calculer la somme : $1+j+j^{2}+\ldots+j^{2018}$.

4. Pour tout $z \in \mathbb{C}$ on pose : $f(z)=z^{2}-z+2$ Déterminer tous les complexes $z$ tels que $f(z) \in \mathbb{R}$.

(Indication: Poser $\left.z=x+i y \operatorname{ avec }(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}\right)$.

5. Soit $z$ un nombre complexe différent de $-i$.

Prouver que : $\frac{1}{z+i} \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \operatorname{Im} z=-1$.

Proposition

Soit $z=x+i y$ et $z^{\prime}=x^{\prime}+i y^{\prime}$ deux complexe où $x, x^{\prime}, y$ et $y^{\prime}$ des réels tels que $(x, y) \neq(0,0)$. Le quotient de $z^{\prime}$ par $z$ est le nombre complexe noté $\frac{z^{\prime}}{z}$ tel que : $\frac{z^{\prime}}{z}=z^{\prime} \times \frac{1}{z}$

et on a :

$ \frac{z^{\prime}}{z}=\frac{x^{\prime}+i y^{\prime}}{x+i y}=\frac{x x^{\prime}+y y^{\prime}}{x^{2}+y^{2}}+i \frac{x y^{\prime}-y x^{\prime}}{x^{2}+y^{2}} $

Exemple

1) Calculons le nombre: $z=\frac{\sqrt{3}+2 i}{\sqrt{3}-2 i}+\frac{\sqrt{3}-2 i}{\sqrt{3}+2 i}$

On a immédiatement: $z=\frac{(\sqrt{3}+2 i)^{2}+(\sqrt{3}-2 i)^{2}}{(\sqrt{3}-2 i)(\sqrt{3}+2 i)}=\frac{-1+2 i \sqrt{3}-1-2 i \sqrt{3}}{3+4}=-\frac{2}{7}$

2) Résolvons dans $\mathbb{C}$ l'équation suivante : $\quad(E):(4+i) z=2+i-z$. L'équation $(E)$ est équivalente à $z+(4+i) z=2+i$, c'est-à-dire $(5+i) z=2+i$. Il s'ensuit donc : $ z=\frac{2+i}{5+i}=\frac{(2+i)(5-i)}{5^{2}+1^{2}}=\frac{11+3 i}{26}=\frac{11}{26}+\frac{3}{26} i $ Par suite, l'ensemble solution de cette équation est: $S=\left\{\frac{11}{26}+\frac{3}{26} i\right\}$

3) Soit $z=x+i y$ un nombre complexe $\operatorname{avec}(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}$, On pose $f(z)=\frac{z+i}{z-1}$. Déterminons les nombres complexes $z$ distincts de 1 pour que $f(z)$ soit un réel. On a: $f(z)=\frac{x+i(y+1)}{(x-1)+i y}=\frac{(x+i(y+1))((x-1)-i y)}{(x-1)^{2}+y^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}-x+y}{(x-1)^{2}+y^{2}}+i \frac{x-y-1}{(x-1)^{2}+y^{2}}$ Il s'ensuit donc que: $\operatorname{Re}(f(z))=\frac{x^{2}+y^{2}-x+y}{(x-1)^{2}+y^{2}}$ et $\operatorname{Im}(f(z))=\frac{x-y-1}{(x-1)^{2}+y^{2}}$ On a alors: $f(z) \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \operatorname{Im}(f(z))=0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x-y-1=0 (x-1)^{2}+y^{2} \neq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=x-1 (x ; y) \neq(1 ; 0)\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}z=x+i(x-1) x \neq 1\end{array}\right.\right.\right.$ Par suite, l'ensemble des nombres complexes $z$ tel que $f(z) \in \mathbb{R}$ est: $\{x+(x-1) i / x \in \mathbb{R}-\{1\}\}$.

Applications

1. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe suivant:

$Z=(1+i)\left(\frac{2+i}{1-i}\right)^{2}-(1+3 i)\left(\frac{2+i}{1-i}\right)+6$.
2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes :

$ \left(E_{1}\right) \quad(-1+4 i) z+(1-2 i)=i z+3 \quad ; \quad\left(E_{2}\right) \quad \frac{1+3 i z}{1+3 z}=i \frac{z+2}{z-5} $

3. Résoudre dans $\mathbb{C}^{2}$ les systèmes suivants :

$ \left(S_{1}\right):\left\{\begin{array}{l} 2 i z+3 z^{\prime}=i i z+z^{\prime}=2 \end{array} \quad ; \quad\left(S_{2}\right):\left\{\begin{array}{l} 3 z-2 z^{\prime}=-11 i z+(1+i) z^{\prime}=3(4-i) \end{array}\right.\right. $

4. Soit $z=x+i y$ un nombre complexe tel que $(x ; y) \in \mathbb{R}^{2}$.

Déterminer tous les nombres complexes $z$ dans chacun des cas suivants :

a) $i z^{2} \in \mathbb{R}$

b) $z^{2}+z+1 \in \mathbb{R}$

c) $\frac{1-i z}{1+z} \in i \mathbb{R}$

d) $\frac{z-1}{i=} \in iz \mathbb{R}$

LA REPRÉSENTATION GÉOMÉTRIQUE D'UN NOMBRE COMPLEXE AFFIXE D'UN POINT - AFFIXE D'UN VECTEUR