Les fonctions logarithmes

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIENNE

DÉFINITION DE LA FONCTION $ln$

Remarques

- L'ensemble de définition de la fonction ln est $] 0 ;+\infty[$ et $\ln (1)=0$. - La fonction $ln$ est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ et de plus: $(\forall x \in] 0 ;+\infty[) \quad \ln ^{\prime}(x)=\frac{1}{x}$

Rappel

On rappelle que toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive définie sur cet intervalle.

Exemple

On considère les fonctions numériques $f, g$ et $h$ définies par: $f(x)=\ln x+\ln (x-1) \quad ; \quad g(x)=\ln \left(x^{2}-x\right) \quad ; \quad h(x)=\ln\left(\frac{x-4}{x+1}\right)$ Déterminons leurs ensembles de définition : - L'expression $f(x)$ a un sens si $x>0$ et $x-1>0$, c'est-à-dire si $x>1$. Par suite: $\left.D_{f}=\right] 1 ;+\infty[$ - L'expression $g(x)$ a un sens si $x^{2}-x>0 .$ Donc: $\left.D_{g}=\right]-\infty ; 0[\cup] 1 ;+\infty[$. - L'expression $h(x)$ a un sens si $\frac{x-4}{x+1}>0 .$ Donc: $\left.D_{h}=\right]-\infty ;-1[\cup] 4 ;+\infty[.$

Applications

Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions $f, g$ et $h$ définies par: $f(x)=\ln (x+4)-\ln \left(25-x^{2}\right) \quad ; \quad g(x)=\ln \left(x^{2}-8x+7\right) \quad ; \quad h(x)=\sqrt{(x-1) \ln x}$

MONOTONIE DE LA FONCTION $ln$

Proposition 1

La fonction $ln$ est strictement croissante sur $] 0 ;+\infty[.$ On a alors :

- Pour tout $(x ; y) \in(] 0 ;+\infty[)^{2}: \quad \ln x<\ln y \Leftrightarrow x$

- Pour tout $x \in] 0 ;+\infty[:$ $\ln x=0 \Leftrightarrow x=1 \quad$ et $\quad \ln x>0 \Leftrightarrow x>1 \quad$ et $\quad \ln x<0 \Leftrightarrow x<1$

Exemples

1) Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante: $\quad \ln \left(x^{2}-4\right)=\ln(4 x-6)$ Cette équation est définie si $x^{2}-x>0$ et $4 x-6>0$, c'est-à-dire si $\left.x\in\right] \frac{3}{2} ;+\infty[$. On a maintenant pour tout $x \in] \frac{3}{2} ;+\infty[$ : $\ln \left(x^{2}-x\right)=\ln (4 x-6) \Leftrightarrow x^{2}-x=4 x-6 \Leftrightarrow x^{2}-5 x+6=0$ Les solutions de l'équation $x^{2}-5 x+6=0$ sont 2 et 3 . Comme $\left.2 \in\right] \frac{3}{2} ;+\infty[$ et $3 \in] \frac{3}{2} ;+\infty[$, alors $S=\{2 ; 3\}$. 2) Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'inéquation suivante : $\ln (14-x)>\ln \left(10+7 x-3x^{2}\right)$ Cette inéquation est définie si $14-x>0$ et $10+7 x-3 x^{2}>0$, c'est-à-dire si $\left.x \in\right]-1 ; \frac{10}{3}[$. On a maintenant pour tout $x \in]-1 ; \frac{10}{3}[:$ $\ln (14-x)>\ln \left(10+7 x-3 x^{2}\right) \Leftrightarrow 14-x>10+7 x-3 x^{2} \Leftrightarrow 3 x^{2}-8 x+4>0 \Leftrightarrow(x-2)(3 x-2)>0$ L'ensemble solution de l'inéquation $(x-2)(3 x-2)>0$ dans $\mathbb{R}$ est $\left.S_{1}=\right]-\infty ; \frac{2}{3}[\cup] 2 ;+\infty[.$ Par suite, l'ensemble solution de l'inéquation $\ln (14-x)>\ln \left(10+7 x-3 x^{2}\right)$ est: $\left.S=S_{1} \cap\right]-1 ; \frac{10}{3}[=]-1 ; \frac{2}{3}[\cup] 2 ; \frac{10}{3}[$

Application

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et les inéquations suivantes: $\ln (2 x-3)=\ln (4-x) \quad ; \quad \ln \left(x^{2}+x\right)=\ln (-2 x-2) ; \quad \ln \left(3 x^{2}+4 x+2\right)=0$ $\ln (4 x-5)>\ln (2 x+3) \quad ; \quad \ln \left(x^{2}+3 x\right)-\ln (x+2) \geq 0 \quad ; \quad \ln \left(3 x^{2}-4 x+1\right) \geq 0$ 2. Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes : $f(x)=\sqrt{\ln \left(\frac{x+1}{1-x}\right)} \quad ; \quad g(x)=\frac{1}{\ln (|x-2|-1)}\quad ; \quad h(x)=\frac{1}{(\ln x)^{3}}+\frac{x}{\ln (x+2)}$

PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES

Proposition 2

Pour deux réels strictement positifs $x$ et $y$ on a : $\ln (x y)=\ln x+\ln y$ (Propriété fondamentale) Dans cette propriété fondamentale on peut déduire les propriétés algébriques suivantes:

Proposition 3

1) Pour tout réel strictement positif $x$, on a : $\ln \left(\frac{1}{x}\right)=-\ln x$ 2) Pour tout $(x ; y) \in(] 0 ;+\infty[)^{2}$ on $a: \ln \left(\frac{x}{y}\right)=\ln x-\ln y$ 3) Pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$ et pour tous réels strictement positifs $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$, on a : $\ln \left(x_{1} x_{2} \ldots . x_{n}\right)=\ln \left(x_{1}\right)+\ln\left(x_{2}\right)+\ldots+\ln \left(x_{n}\right)$ 4) Pour tout $x \in] 0 ;+\infty\left[\right.$ et pour tout $r \in \mathbb{Q}$, on a: $\ln \left(x^{r}\right)=r \ln x$

Remarques

- Soit $a$ et $b$ deux réels strictement négatifs. On a alors $a b>0$ et $\frac{a}{b}>0 .$ Il s'ensuit donc: $\ln (a b)=\ln |a|+\ln |b| \quad \text { et } \quad \ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln |a|-\ln |b|$ - On a pour tout $x \in] 0,+\infty\left[\right.$ et pour tout entier $n \geq 2: \ln (\sqrt{x})=\frac{1}{2} \ln (x)$ et $\ln (\sqrt[n]{x})=\frac{1}{n} \ln (x)$

Exemple

soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. On pose : $\alpha=\ln (a)$ et $\beta=\ln (b)$. Exprimons $\ln \left(a^{2} b^{5}\right)$ et $\ln \left(\frac{1}{\sqrt[6]{a^{7} b}}\right)$ en fonction de $\alpha$ et $\beta$ : $\ln \left(a^{2} b^{5}\right)=\ln \left(a^{2}\right)+\ln \left(b^{5}\right)=2 \ln (a)+5\ln (b)=2 \alpha+5 \beta$ $\ln \left(\frac{1}{\sqrt[6]{a^{7} b}}\right)=\ln \left(a^{-\frac{7}{6}} \cdot b^{\frac{1}{6}}\right)=\ln \left(a^{-\frac{7}{6}}\right)+\ln \left(b^{-\frac{1}{6}}\right)=-\frac{7}{6} \alpha-\frac{1}{6} \beta$

LIMITES USUELLES

Proposition 4

$\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln (x)=+\infty$ et $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln (x)=-\infty$

Proposition 5

$\cdot \ln (] 0 ;+\infty[)=\mathbb{R}$ - L'équation $\ln (x)=1$ admet une unique solution dans $] 0 ;+\infty[.0 \mathrm{n}$ la note $e: \ln (x)=1 \Leftrightarrow x=e$

Remarques

- A l'aide de la calculatrice, on trouve comme valeur approchée de $e: e \approx 2,718281828$ - On a pour tout $r \in Q: \quad \ln \left(e^{r}\right)=r$

Application

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes: $\ln (2 x-1)=-\frac{3}{5} \quad ; \quad \ln \sqrt{x}=3 \ln 2 \quad ; \quad(\ln x)^{2}-5\ln x+4=0 \quad ; \quad \frac{\ln x+2}{\ln x-1}=3$ 2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes : $\ln x \geq 3 \quad ; \quad \ln ^{2} x-5 \ln x+6>0 \quad ; \quad-2 \ln ^{2} x+3 \ln x+5\geq 0 \quad ; \quad \frac{\ln x-1}{\ln x+2} \leq 0$ 3. Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes: $f(x)=\frac{3 \ln x-4}{\ln x+5} \quad ; \quad g(x)=\sqrt{\ln x-2} \quad ; \quad h(x)=\frac{\sqrt{1-\ln x}}{1+\ln x} \quad ; \quad k(x)=\sqrt{\frac{1-\ln x}{1+\ln x}}$ 4. Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ les systèmes suivants : $\left(S_{1}\right):\left\{\begin{array}{l}\ln x-\ln y=2 \\ 2 \ln x-3 \ln y=5\end{array} ; \quad\left(S_{2}\right):\left\{\begin{array}{l}x+y=4 \\ \ln x+\ln y=\ln 3\end{array} ; \quad\left(S_{3}\right):\left\{\begin{array}{l}\ln x-\ln y=-1 \\ \ln ^{2} x+\ln ^{2} y=5\end{array}\right.\right.\right.$ $\left(S_{4}\right):\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=218 \\ \ln x+\ln y=\ln 91\end{array} ; \quad\left(S_{5}\right):\left\{\begin{array}{l}\ln \sqrt{x}-\ln y^{2}=1 \\ -\ln x+4 \ln y=6\end{array} ; \quad\left(S_{6}\right):\left\{\begin{array}{l}x y=e^{3} \\ 3 \ln x-4 \ln y=2\end{array}\right.\right.\right.$

Proposition 6

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $ln$ dans un repère orthonormé. Alors: - La courbe $\mathcal{C}$ admet l'axe des ordonnées comme asymptote : $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln (x)=-\infty$. - La courbe $\mathcal{C}$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses: $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln x}{x}=0$. - La courbe $\mathcal{C}$ est concave sur $] 0 ;+\infty[$

LIMITES FONDAMENTALES

Proposition 7

- On a: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x=0$ et $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\ln x}{x-1}=1 \quad$ et $\quad \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x}=1$ - On a pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}: \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln (x)}{x^{n}}=0$ et $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{n} \ln (x)=0$. Applications Calculer les limites suivantes: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt[3]{x} \ln x \quad ; \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln x}{\sqrt[5]{x}} ;\quad \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{2}-7 x-5 \ln x\right) $ $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(x^{2020}+x+1\right)}{x} ; \quad \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln x}{\ln x+3} ;\quad\lim _{x \rightarrow-\infty} x^{2} \ln \left(1+\frac{4}{x^{2}}\right) ;\quad\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln x}{\ln \left(x^{2}-1\right)} $ $\lim _{x \rightarrow 3} \frac{2 x}{x-3} \ln \left(\frac{x}{3}\right) ;\quad \lim _{x \rightarrow+\infty} x \ln \left(\frac{x-1}{x+1}\right) ;\quad \lim _{x \rightarrow 0^{-}} x \ln \left(x^{2}-3 x\right)$

DÉRIVÉE LOGARITHMIQUE