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Maths
Dérivabilité
2ème année bac Sciences Physiques Maths Dérivabilité et étude de fonctions fiche de cours
Dérivabilité d'une fonction numérique (Rappels)
Dérivabilité d'une fonction en un point
تعريف
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$ et $x_{0}$ un élément de $I\\$ On dit que $f$ est dérivable en $x_{0}$ s'il existe un réel $\ell$ tel que : $\lim_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\ell .\\$ Le nombre $\ell$ est appelé le nombre dérivé de la fonction $f$ en $x_{0}$. Il est noté $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$.
Remarque
- Parfois, notamment en physique, on adopte la notation $\frac{d f}{d x}\left(x_{0}\right)$ pour le nombre dérivé de $f$ en $x_{0}.\\$ On trouve également, la notation $f\left(x_{0}\right)$, lorsque la variable désigne le temps.$\\[0.2cm]$ - Un simple changement d'écriture montre, en s'appuyant sur la composition des limites, que $f$ est dérivable en $x_{0}$ si la fonction $\\h \mapsto \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}$ a une limite finie en $0$ et alors : $\\[0.2cm]f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}\\[0.2cm]$ - La notion de dérivabilité, étant définie à l'aide d'une limite, est une notion locale.
تعريف
Soit $f$ une fonction dérivable en $x_{0}.\\$ La droite $(T)$ d'équation $y=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)$ est appelée la tangente à la courbe $C_{f}$ de la fonction $f$ au point d'abscisse $x_{0}.\\[0.2cm]$ La fonction $x \mapsto f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)$ s'appelle l'approximation affine de $f$ au voisinage de $x_{0}.\\[0.2cm]$ On écrit alors: $f(x) \approx f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)$ au voisinage de $x_{0}$ ou $f\left(x_{0}+h\right) \approx h f^{\prime}\left(x_{0}\right)+f\left(x_{0}\right)$ au voisinage de $0$
Dérivabilité à droite - Dérivabilité à gauche
تعريف
- Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle du type $\left[x_{0}, x_{0}+r\left[\right.\right.\\$ où $r \in \mathbb{R}_{+}^{*}.\\[0.2cm]$ On dit que $f$ est dérivable à droite de $x_{0}$ s'il existe un réel $\ell_{1}$ tel que: $\lim_{x \rightarrow x{0}^{+}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\ell_{1}.\\[0.2cm]$ Le nombre $\ell_{1}$ est appelé le nombre dérivé de la fonction $f$ à droite en $x_{0}\\[0.2cm]$ Il est noté $f_{d}^{\prime}\left(x_{0}\right).\\[0.2cm]$ - Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle du type $\left.] x_{0}-r, x_{0}\right]\\$ où $r \in \mathbb{R}_{+}^{*}.\\[0.2cm]$ On dit que $f$ est dérivable à gauche de $x_{0}$ s'il existe un réel $\ell_{2}$ tel que: $\lim_{x \rightarrow x{0}^{-}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\ell_{2}.\\[0.2cm]$ Le nombre $\ell_{2}$ est appelé dérivé de la fonction $f$ à gauche en $x_{0}.\\[0.2cm]$ Il est noté $f_{g}^{\prime}\left(x_{0}\right)$.
Proposition
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$ et $x_{0}$ un élément $\\$ de $I$. $\\[0.2cm]$ La fonction $f$ est dérivable en $x_{0}$ si, et seulement si, elle est dérivable à droite et à gauche en $x_{0}$, avec $f_{d}^{\prime}\left(x_{0}\right)=f_{g}^{\prime}\left(x_{0}\right)$, et dans ce cas : $\\[0.2cm]f^{\prime}\left(x_{0}\right)=f_{d}^{\prime}\left(x_{0}\right)=f_{g}^{\prime}\left(x_{0}\right)$
Dérivibalité d'une fonction sur un intervalle
تعريف
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I.\\[0.2cm]$ - On dit que f est dérivable sur $I$ si elle est dérivable en tout point $x$ de $I . \\$ - On note $f^{\prime}$ la fonction qui à $ x \in I$ associe le nombre dérivée de $f$ en $x .\\$ - On l'appelle la fonction dérivée de $f$, ou plus simplement la dérivée de $f$, on écrit aussi :$f^{\prime}=\frac{d f}{d x}$.
Tableau des Dérivées Usuelles
| Fonction | Dérivée | Condition |
| $k$ constante | $0$ | |
| $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^{2}}$ | $x \neq 0$ |
| $x^{n}$ | $n.x^{n-1}$ | |
| $\frac{1}{x^{n}}$ | $-\frac{1}{n.x^{n-1}}$ | $x \neq 0$ |
| $\sqrt{x}$ | $-\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ | $x>0$ |
| $\cos (x)$ | $-\sin (x)$ | |
| $\sin (x)$ | $\cos (x)$ | |
| $\tan (x)$ | $\frac{1}{\cos (x)^{2}}=1+\tan(x)^{2}$ | $x \neq \frac{\pi}{2}+2k{\pi}$ |
| $\arccos (x)$ | $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ | $x \in]-1,1[$ |
| $\arcsin (x)$ | $-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ | $x \in]-1,1[$ |
OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS DÉRIVABLES
Proposition
Soit $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $\alpha \in \mathbb{R}$. Alors :
- $(f+g)^{\prime}=f^{\prime}+g^{\prime}$
- $(\alpha f)^{\prime}=\alpha f^{\prime}$
- $(f \cdot g)^{\prime}=f^{\prime} \cdot g+g^{\prime} \cdot f $
- $\left(f^{n}\right)^{\prime}=n \cdot f^{\prime} \cdot f^{n-1}$
- Si la fonction $g$ ne s'annule pas sur $I$, alors: $\\[0.2cm]\left(\frac{1}{g}\right)^{\prime}=-\frac{g^{\prime}}{g^{2}} \quad$ et $\quad\left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}=\frac{f^{\prime} \cdot g-f g^{\prime}}{g^{2}}$
- Enfin, si $f$ est strictement positive sur $I$, alors:$(\sqrt{f})^{\prime}=\frac{f^{\prime}}{ \sqrt[2]{f}}$
Compléments sur la dérivation
DÉRIVABILITÉ ET CONTINUITÉ
Proposition
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$ et $x_{0}$ un élément de $I.\\$ Si $f$ est dérivable en $x_{0}$, alors $f$ est continue en $x_{0}$.
Remarque
- Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle. - La réciproque de la proposition 3 est fausse. Par exemple, la fonction $\\ x \mapsto|x|$ est continue en $0$ mais n'est pas dérivable en $0$ .
DÉRIVÉE DE LA FONCTION COMPOSÉE
Proposition
Soit $I$ et $J$ deux intervalles ouverts, et $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ et $g: J \rightarrow \mathbb{R}$ deux fonctions numériques, avec $f(I) \subset J .$ Soit $x_{0}$ un élément de $I$ . Si : $\\[0.2cm]$- La fonction $f$ est dérivable en $x_{0}.\\[0.2cm]$ - La fonction $g$ est dérivable en $y_{0}=f\left(x_{0}\right).\\[0.2cm]$ Alors la fonction $g \circ f$ est dérivable en $x_{0}$ et de plus: $\\[0.2cm](g \circ f)^{\prime}\left(x_{0}\right)=f^{\prime}\left(x_{0}\right) \times g^{\prime}\left(f\left(x_{0}\right)\right)$
Corollaire
Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et $g$ est dérivable sur un intervalle $J\\$ tel que $f(I) \subset J\\[0.2cm]$ Alors la $g \circ f$ est dérivable sur $I$ et de plus, pour tout $x \in I: \\[0.2cm](g \circ f)^{\prime}(x)=f^{\prime}(x) \times g^{\prime}(f(x))$.
Dérivé de la fonction racine n ième
Proposition
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2 .\\[0.2cm]$
- La fonction $x \mapsto \sqrt[n]{x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$ et on a pour tout $x \in \mathbb{R}{+}^{}$ : $\\[0.2cm](\sqrt[n]{x})^{\prime}=\left(x^{\frac{1}{n}}\right)^{\prime}=\frac{1}{n} x^{\frac{1}{n}-1}=\frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}}\\[0.2cm]$
- Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ alors la fonction $x \mapsto \sqrt[n]{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et sa fonction dérivée est donnée par: $\\[0.2cm](\sqrt[n]{u(x)})^{\prime}=\frac{1}{n} u^{\prime}(x)(u(x))^{\frac{1}{n}-1}=\frac{u^{\prime}(x)}{n(\sqrt[n]{u(x)})^{n-1}}$
مثال
1) La fonction $x \mapsto \sqrt[3]{x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$, et on a pour tout $x \in \mathbb{R}_{+}^{*}:$
$\\[0.2cm](\sqrt[3]{x})^{\prime}=\frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3 \cdot \sqrt[3]{x^{2}}}\\[0.3cm]$
2) On considère la fonction $f$ définie par: $f(x)=\sqrt[3]{8 x-5}\\[0.2cm]$ La fonction $u: x \mapsto 8x-5$ est dérivable et strictement positive sur l'intervalle $] \frac{5}{8} ;+\infty[.\\[0.2cm]$ Par conséquent La fonction $f$ est dérivable sur $\left]\frac{5}{8} ;+\infty[\right.$ et on a pour tout $x \in] \frac{5}{8} ;+\infty[$ : $\\[0.2cm]f^{\prime}(x)=\frac{1}{3} u^{\prime}(x)(u(x))^{\frac{1}{3}-1}=\frac{8}{3}(8x-5)^{-\frac{2}{3}}=\frac{8}{3 . \sqrt[3]{(8x-5)^{2}}}$
تطبيق
Calculer la dérivée de chacune des fonctions numériques suivantes: $\\[0.2cm]f(x)=\sqrt[4]{3+\cos ^{2} x} \quad ; \quad g(x)=x . \sqrt[7]{x^{2}-x} \\[0.2cm]$ $h(x)=\sqrt[3]{\left(x^{3}-1\right)^{4}} \quad ; \quad k(x)=\sin \left(\sqrt[3]{x^{2}+x+1}\right)$
Proposition
Soit $r$ un nombre rationnel non nul. $\\[0.2cm]$ - La fonction numérique $x \mapsto x^{r}$ est dérivable sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$, et sa dérivée est $\\$ la fonction $x \mapsto r.x^{r-1}.\\[0.2cm]$ - Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, alors la fonction numérique $x \mapsto(u(x))^{\text {r}}$ est dérivable sur $I$ et sa fonction dérivée est donnée par la formule : $((u(x))^{r})^{\prime}=r u^{\prime}(x) \cdot(u(x))^{r-1}$
Étude des fonctions numériques ( Rappels)
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