Fiche de cours


Les deux photos montrent une balançoire pour enfant et la Grande Roue. Ces deux systèmes sont constitués par des corps solides qui ont un mouvement de rotation autour d’un axe fixe. Qu’est-ce qu’un mouvement de rotation ? Et quelles sont ses caractéristiques ?

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Dans ce cours, on découvrira en particulier les mouvements de rotation dans le plan.

Rotation simple et réciproque

تعريف


Definition d’une rotation
Soit $\Omega$ un point du plan orienté positivement et $\theta$ un réel.
La rotation $\mathrm{r}$ de centre $\Omega$ et d'angle $\theta$ est la transformation du plan notée $\mathrm{r}(\Omega ; \theta)$ ou $\mathrm{r}_{(\Omega ; \theta)}$ qui vérifie : $\mathrm{r}(\Omega)=\Omega$
Et pour tout point M du plan différent de $\Omega$; La rotation $\mathrm{r}$ transforme un point M en un point image $\mathrm{M}^{\prime}$ tel que :
$\mathrm{r}(\mathrm{M})=\mathrm{M}^{\prime} \Leftrightarrow\left\{\frac{\Omega \mathrm{M}=\Omega \mathrm{M}^{\prime}}{\left(\overline{\Omega \mathrm{M}},{\Omega \mathrm{M}^{\prime}}\right) \equiv \theta[2 \pi]}\right.$
D'après la figure ci-dessus $r_{(\Omega ; \theta)}(M)=M^{\prime}$
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Remarques:
1 L'image du centre $\Omega$ est $\Omega$ (on dit que le point $\Omega$ est invariant),
2 Les rotations d'angle $\theta=\frac{\pi}{2}$ sont appelées quarts de tour direct,
3 Les rotations d'angle $\theta=-\frac{\pi}{2}$ sont appelées quarts de tour indirect,
4 La rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\theta=\pi$ est la symétrie centrale par rapport à $\Omega$.
Exemple:
$\mathrm{ABC}$ est un triangle. On construit à l'extérieur deux triangles $\mathrm{ABD}$ et ACE isocèles et rectangles en $\mathrm{A}$
1 Montrer que: $\mathrm{BE}=\mathrm{CD}$
2 Montrer que: (BE) $\perp(\mathrm{CD})$

Solution :
1- Soit $\mathrm{r}$ la rotation de centre $\mathrm{A}$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ On a : $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{AD}=\mathrm{AB} \\ \hline \overrightarrow{\mathrm{AD}} ; \overline{\mathrm{AB}})\equiv\frac{\pi}{2}[2\pi]\end{array}\right.$
donc: $\mathrm{r}(\mathrm{D})=\mathrm{B}$

On a: $\left\{\begin{array}{l}\frac{A C=A E}{(\overrightarrow{\mathrm{AC}} ; \overrightarrow{\mathrm{AE}})} \equiv \frac{\pi}{2}[2 \pi]\end{array}\right.$
donc: $r(C)=E$
Et puisque la rotation conserve les distances. Alors, en déduit que $B E=C D$
2- on a $r(D)=B$ et $r(C)=E$
Donc: $\overline{(\overrightarrow{C D}, \overrightarrow{E B})} \equiv \frac{\pi}{2}[2 \pi]$ par suite : $(B E) \perp(C D)$

Rotation réciproque

تعريف


Soit $\mathrm{r}$ une rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\alpha$.
La rotation de centre $\Omega$ et d'angle $-\alpha$ est appelée rotation réciproque de $\mathrm{r}$. On la note $\mathrm{r}^{-1}$.
D'après la figure ci-dessus on a: $\mathrm{r}_{0}^{1}\left(\mathrm{M}^{\prime}\right)=\mathrm{M}$.

Remarque::
Soient M et N deux points du plan,
si $\mathrm{r}_{o}(\mathrm{M})=M^{\prime} ;$
Alors $r_{O}^{-1}\left(M^{\prime}\right)=M$

Caractéristiques et propriétés de la rotation

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Rotation dans le plan
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