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Maths
Dérivation des fonctions numériques
2ème année bac Sciences Math A Mathématiques Dérivation et étude des fonctions fiche de cours
Dérivation des fonctions numériques
Dérivabilité d'une fonction en un point
تعريف
Soit $$f$$ une fonction numérique définie sur l'intervalle ouvert $$\left]a-r;a+r\right[$$ (r$$>$$0). On dit que $$f$$ est dérivable en $$\textbf{a}$$ si la limite:
$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ ou $$\lim_{h\to 0} \frac{f(h+a)-f(a)}{h}$$
existe et est finie. Cette limite est appelée $$\textbf{nombre dérivé}$$ de $$f$$ en $$\textbf{a}$$ et est notée f'(a).
Dérivabilité à droite
تعريف
Soit $$f$$ une fonction numérique définie sur l'intervalle ouvert $$\left]a;a+r\right[$$ (r$$>$$0). On dit que $f$ est dérivable à droite de $$\textbf{a}$$ si et seulement si la limite: $$\hspace{2cm}$$ $$\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ ou $$\lim_{h\to 0^+} \frac{f(h+a)-f(a)}{h}\\$$ existe et est finie. cette limite est appelée nombre dérivé de $$f$$ en $${a^+}$$ et est notée $${f'_d(a)}$$
Dérivabilité à gauche
تعريف
Soit $$f$$ une fonction numérique définie sur l'intervalle ouvert $$\left]a-r;a\right[$$ (r$$>$$0). On dit que $$f$$ est dérivable à gauche de $${a}$$ si et seulement si la limite: $$\hspace{2cm} \lim_{x \to a^-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ ou $$\lim_{h\to 0^-} \frac{f(h+a)-f(a)}{h}\\$$ existe et est finie. $$\\$$ cette limite est appelée nombre dérivé de $$f$$ en $${a^-}$$ et est notée $${f'_g(a)}$$
خاصية
soit $$f$$ une fonction définie sur un intervalle ouvert de centre $${a}$$: $$f$$ est dérivable en $${a}$$ si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche de $${a}$$ et $${f'_g(a)}={f'_d(a)}$$
Dérivabilité d'une fonction sur un intervalle
خاصية
- Soit $$f$$ une fonction numérique définie sur un intervalle $$I.\\$$ On dit que $$f$$ est dérivable sur $$I$$ si elle est dérivable en tout point $$x$$ de $$I$$.
- On note $$f'$$ la fonction qui à tous $$x \in I$$ associe le nombre dérivé de $$f$$ en $$x$$. On l'appelle la fonction dérivée de $$f$$, et on écrit:
$$ f'(x)= \frac{df}{dx}$$
Opération sur les fonctions dérivables
خاصية
Soient $$f$$ et $$g$$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $$I$$ et ($$ \alpha \in \mathbb{R}$$) , on a:
- $$(f+g)'=f'+g'$$
- $$(\alpha f)'=\alpha f'$$
- $$(f.g)'=f'.g+g'.f$$
- $$(f^n)'=n.f'.f^{n-1}$$
- Si la fonction $$g$$ ne s'annule pas sur $$I$$ alors: $$(\frac{1}{g})'=-\frac{g'}{g^2}$$ et $$(\frac{f}{g})'=\frac{f'.g-g'.f}{g^2}$$
- Si la fonction $$f$$ est strictement positive sur $$I$$ alors: $$(\sqrt{f})'=\frac{f'}{2\sqrt{f}}$$
Dérivation et continuité
نظرية
soit $$f$$ une fonction numérique définie sur un intervalle $$I$$ et $${a}$$ un $$\\$$élément de $$I$$.
- si $$f$$ est dérivable en a alors elle est continue en a
- Si $$f$$ est dérivable sur l'intervalle I alors elle est continue sur I .
ما يجب معرفته
- $$f$$ continue en $${a}$$ n'implique pas que f est dérivable en a .
- $$f$$ est continue sur un intervalle $$I$$ n'implique pas que $$f$$ est dérivable sur $$I$$
تطبيق
Dérivée de la fonction composée
نظرية
Soient $$f$$ une fonction définie sur un intervalle $$I$$ et $$g$$ une fonction définie sur un intervalle $$J$$ tels que $$f(I)\subset J$$ et $$\textbf{a}$$ un élément de $$I$$.
- Si f est dérivable en $$\textbf{a}$$ et $$g$$ dérivable en $$\textbf{b} = f(a)$$ alors: $$\displaystyle g\circ f$$ est dérivable en $$\textbf{a}$$ et $$(\displaystyle g\circ f(a))' = f'(a) g'(f(a))$$
- Si $$f$$ est dérivable sur $$I$$ et $$g$$ dérivable sur $$f(I)$$ alors: $$\displaystyle g\circ f$$ est dérivable sur I et $$\textbf(\forall x\in I)$$on a : $$(\displaystyle g\circ f(x))'= f'(x).g'(f(x))$$
تطبيق
Soit $$f$$ une fonction numérique définie par: $$h(x)=sin(\sqrt{x+1})$$ On a: $$h= g \circ f$$ telle que
$$f:x \rightarrow \sqrt{x+1}$$ et $$g:x \rightarrow sin(x)$$
La fonction $$f$$ est dérivable sur $$]-1;+\infty[$$ et $$g$$ est dérivable sur $$\mathbb{R}$$ et on a $$f(]-1;+\infty[) \subset \mathbb{R}\\$$ Par conséquent, la fonction $$h$$ est dérivable sur $$]-1;+\infty[$$ et on a:
$$\forall x \in ]-1;+\infty[$$ $$h'(x)=f'(x).g'(f(x))=\frac{cos(\sqrt{x+1})}{2\sqrt{x+1}}$$
la Fonction réciproque
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